Логические задачи : Побег из круга

	"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов. Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное. Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.
Задачи на логику и сообразительность
Главная \| О проекте \| Все задачи-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C \| Добавить задачу

О сайте
Гостевая книга
ЧаВо

Пользователи
RSS

Поиск на сайте

запомнить меня

Задачи

Переливания и взвешивания

Теорвер, комбинаторика

Задания на наблюдательность

требуется помощь

Чисто поржать

Детские с подковыркой

Данетки

Текущие:

  Мой любимый грех (с)
  Математика в архитектуре
  Не сыпь мне соль на рану
  «Геометрическая»
  Высказывание Ломоносова
  Наверное, не про яблоки
  Комерция
  Везде градусы
  Вагончик тронется, вагончик тронется..
  Спасибо медикам и католикам))
  Специальная купюра
  Студенческая смекалка
  Эллипс vs Круг
  Современные технологии. Немецкий стандарт.
  Спортивная
  философская
  Про газету
  печатная монета
  Купюра евро
  Древние изобретения
  Биометрические паспорта
  Новый глава
  В далеком созвездии тау Кита... 8)))
  Огородное
  Средневековое строительство
  Жестокое наказание
  Их нравы - 4
  Европейский стандарт

Разгаданные недавно:

  этот модный тандыр
  Из Что-Где-Когда
  Может ли такое быть?
  Что изображено?
  Да на тебе пахать надо!

Справочная

Признаки делимости
Площади фигур

Реклама

Версия для смартфонов

задача: Побег из круга

Задачу прислал: R-2

Есть круглый пруд. В нем плавает мышка. А на берегу ее сторожит кошка. Кошка в воду не лезет, а бегает по берегу с максимальной скоростью 1. Считаем что на берегу мышка бегает быстрее кошки. Вопрос: с какой минимальной скоростью должна уметь плавать мышка, что бы выбраться на берег раньше чем в этом месте окажется кошка.


+ -1 -

Ответ

Решение задачи

Сушествует решение для скорости 0.25: Мышка плавает по орбите с радиусом (почти) одна четверть. Когда кошка отстанет на полкруга, мышка быстро плывет к берегу. По цифрам сходится. Мне это решение не нравиться из-за траектории мышки. То она бежит по кругу, то резко поворпчивает на 90 градусов (кошка продолжает бежать без излома.) Мышка могла бы пробежать меньше, если бы срезала угол своей траектории.

Ваши ответы на задачу

ответов: 86

не представился 2020-02-02 00:05:28 пишет:

ivana2000, естественно кошка стремится сокращать расстояние с мышкой (ну конечно в пределах геометрии берега пруда). Отвечая на Ваш вопрос: если мышка направляется прямо к кошке, то никуда, если прямо от кошки - в любую сторону, если в любой из боков - в тот-же бок. А к чему такой вопрос, когда мышка в центре пруда? Естественно, до схода с окружности радиусом 1/х, мышка должна на искомой скорости 1/х, сначала с центра добраться до этой окружности, затем, имея небольшое превосходство в угловой скорости, потихоньку добится форы в полоборота, а затем уже по касательной сходить с окружности. В предудущем сообщении события начинаются уже с момента схода.

igv105 2020-02-01 22:47:41 пишет:

Кошке нужно всегда уменьшать угол кошка-центр-мышка. Как только мышка сойдет с окружности этот угол станет меньше 180гр и независимо от метаний мышки этот угол будет только уменьшаться если кошка двигается в одном направлении.

не представился 2020-02-01 21:05:53 пишет:

KoKos,честно говоря до того не бросал на калькулятор, верил логике сразу. Ну да ладно - бросил. Или у нас разные калькуляторы, или рисунки. Свой сюда добавить не могу, но смысл понятен и так. При отношении 1/4.6, радиус окружности "момента истины" - 0.2174, половина хорды, опирающейся на эту окружность (то, что надо пробежать мышки до свободы) - 1.9522/2=0.9761, половина дуги, опирающейся на эту хорду - 2.7035/2=1.3518, 1.3518+3.1416=4.4934 - это то, что надо пробежать кошки до точки встречи с мышкой (естественно, если кошка не изменит направление движения). 4.4934/4.6=0.9768 приблизительно равно тому, что надо бежать мышке (вверху 0.9761). Если кошка изменяет направление (пытаясь бежать по КРАТЧАЙШЕМУ сегменту), то мышка меняет галс по новой касательной, но уже немного большего радиуса. Теперь ее новая целевая точка спасения (К2) находится уже совершенно в другой стороне, сущесвенно отдалена от первой (К1). Теперь, если кошка не развернется, то ей до новой точки К2 прийдется бежать уже не по КРАТЧАЙШЕМУ сегменту, и уже не успевает, так как мышка на более высокой орбите и ближе берегу. Ну и т.д.
ivana2000, я не понял, почему у Вас точки К1, К2, не продолжение направлений dr1, dr2 с пересечением окружности пруда, а что-то другое? При смене галса, дуга по которой бежала кошка до К1 уже перестанет быть КРАТЧАЙШЕЙ, и кошке без изменения курса на 180 не обойтись. Т.е., как по мне, Ваше "не обязательно" неверно.
Ну и где я ошибся?

KoKos 2020-02-01 18:50:37 пишет:

не представился, неа. Не поможет смена галса - сама стратегия убегания по касательной порочна, так как даёт кошке ОЧЕНЬ большой запас хода. Я кинул от балды данные в калькулятор - для все того же отношения скоростей в 4, с которого все начиналось. Так вот, кошка влёгкую может вылизываться не малое приращение, а совершенно спокойно все ту же четверть радиуса, - которую мышь будет плыть уже по касательной, предвкушая свободу. И даже начав преследование уже после этого (по радиусу мышь как бы ушла достаточно далеко?) кошка будет все ещё иметь примерно 5% запаса хода если мышь сменит галс.

не представился 2020-02-01 15:58:34 пишет:

ivana2000, во первых, не "Пусть кошка находится где-то на окружности", а кошка находится в точке противостоящей, через центр окружности, точке М ("момент истины"). Во вторых, для каждой новой точки К1, К2 (исходя стратегии мышки по смене галса, которую я описал в предыдущем посте)..., "КРАТЧАЙШЯЯ" дуга будет меняться на 180°, и кошка будет топтаться на месте, а мышка потихоньку приближаться к берегу.

не представился 2020-02-01 15:41:40 пишет:

KoKos, во первых, что то мы тут предполагаем, а "ребята" молчат. Во вторых, суть выигрышной логики остается в смене галса. То что в "моменте истины" кошка замрет, ничего не изменит. Малое приращение растояния по касательной ( в любом направлении) ведет к малому приращению движения кошки в нужном (кратчайшем) направлении. Но далее мышки меняет галс, и кошке надо разварачиваться на 180 (потому что новая кратчсйшая дуга будет уже в другой стороне) и т.д. Кошка будет дергаться возле своей точки "момента истины", а мышка потихоньку приближаться к свободе. В третьих, "проблема, как не попасть точно в пасть на берегу", естественно изначально заложена в некорректном условии. Вместо "с какой минимальное скоростью", необходимо "какая минимальная скорость, больше которой". Это аналогично, как не так давняя задача о максимальном отрицательном числе.

KoKos 2020-02-01 02:04:15 пишет:

Пропустил с разгону неочевидную деталь. Если кошка выждала мышь и начала новое преследование по кратчайшей - то никакая смена галса мышь уже не спасет. Спасет лишь возвращение обратно к центру в радиус выигрышного углового маневра - и вся история начнется с начала - тот же пат.

KoKos 2020-02-01 01:46:26 пишет:

Такс… :) Разобрал я, откуда растут ноги у 4.6 - только вот рисунка не предложу, сам сейчас без рисовалок, сорри. Может позже, если никто из оригинальных авторов решения таки не сподобится. Но тут есть два «но».

Во-первых, минимум все равно остаётся недостижимым. Независимо от того, каким непонятным образом мыши удастся «за конечное время» выйти в стартовую точку - у неё остаётся проблема, как не попасть точно в пасть на берегу. :)))

И во-вторых, это решение исходит из предположения, что в «момент истины» обое - и мышь, и кошка, - радостно несутся на всех парах, каждая в свою «нужную» сторону. Действительно, в таком случае при развороте кошка каждый раз будет давать мыши оказаться чуть дальше по диаметру. Но давайте не забывать о том, что кошка - не дура. ;))) В тот момент, когда они оказываются на «исходной позиции», кошке достаточно замереть на месте. На долю секунды, или на пару секунд - без разницы, с учетом потенциального выигрыша от правильного выбора направления дальнейшей погони, у кошки запас хода чуть ли не больше 100%, может себе позволить. :) Итак, кошка замирает и даёт мыши почувствовать вкус свободы (зачеркнуто) начать убегание по касательной - а потом начинает преследование заново в кратчайшую сторону. Хана мышам. :))

Фокус в том, что убегая по касательной при неподвижной кошке, мышь сама даёт кошке угловую фору - себе же на погибель.

Можно, конечно, возразить - мол, пусть мышь тоже будет семи пядей во лбу, и остановится по достижении исходной позиции - посмотреть куда побежит кошка? Тогда ситуация патовая - обе будут стоять на месте и ждать, чтобы соперник дернулся первым. :) Но тогда мышь так и не сможет покинуть пруд. Никогда. Кроме того, у кошки позиция выигрышная - она может сидеть спокойно на попе и неспешно вылизываться, в то время, как мыши придётся упорно работать лапками, поддерживая себя на плаву. В конце концов она просто выдохнется и утонет. 8)

не представился 2020-02-01 00:27:09 пишет:

ivana2000, Вы кажется, перепутали причину и следствие. Мышка меняет направление только после смены направления кошкой, а в противном случая никто ничего не меняет.

не представился 2020-02-01 00:22:24 пишет:

KoKos, ну самым первым условием для начала маневров мышки, необходимо добится форы в полоборота. А на скорости 1/4.9, или похожей, на половине радиуса такой форы не достич.

KoKos 2020-01-31 18:47:02 пишет:

Хм? Ок. *Допустим* - мне пока считать лень, просто допустим как истину - что кошке невыгодно разворачиваться ввиду того, что мышь сменит галс.

Но, тогда позвольте, а зачем вообще цепляться за четверть радиуса? Если мышь начнет свои потенциально опасные сменой галса маневры не с четверти радиуса, а с половины - то и скорости ей потребуется еще меньше - примерно 1/4.9

Ж8))

K2 2020-01-31 16:28:16 пишет:

На другую касательную от уже другого, бОльшего круга? "перебросить галс"?
Интересно - тогда похоже от смены направлений кошка будет только проигрывать.

не представился 2020-01-31 15:46:29 пишет:

KoKos, наверное у ребят стратегия такова, что на каждый разворот кошки, мышка тоже меняет направление, но не на 180 градусов, а немного меньше, постоянно приближаясь к берегу. Так что точка Е и желтая линия, это в идеале, без смены направления кошки. Хотя, хто его знает, подождем объяснений.

KoKos 2020-01-31 12:06:58 пишет:

igv105, R-2, ребят, вы чего - белены объелись? Вы действительно считаете вот этот кейс (на рисунке) ? И по-вашему, если кошке бежать "прямо" три четверти круга в точку поимки, а обратно всего четверть, - то ей невыгодно разворачиваться?? 8[ ]

igv105 2020-01-30 18:45:59 пишет:

для наглядности можно рассмотреть возможные траектории мыши в системе координат кошки(пусть кошка не бегает,а вращает пруд), при отношении скоростей меньше критического мышь может находиться вне фигуры похожей на каплю в вершине которой -кошка. Граница этой капли - то самое дывижение по касательной(в системе отсчета связанной с прудом).

K2 2020-01-30 16:13:07 пишет:

Скорее на одном радиусе...

Думался один вариант - стартуя по радиусу с кошкой за спиной и когда она уже начала / сколько-то пробежала в любом из направлений - начать каапельку отворачивать в другом:
плыть будет чууточку больше но и бежать капельку дольше - но в чью пользу "синусы" сложатся что-т не могу сообразить. По по идее и мааленьких углах - вроде как должны быть в мышкину.

igv105 2020-01-30 14:57:45 пишет:

KoKos, Как только мышка начнет движение по касательной, кошка начнет ее догонять, если кошка развернется она вскоре опять окажется на одном диаметре с мышкой, но мышка будет уже не на окружности, а немного ближе к берегу. Получается невыгодно кошке разворачиваться.

R-2: У меня получилось около 1/4.6

KoKos 2020-01-29 21:31:30 пишет:

igv105, это Вы о чем? Если о рисунке R-2 буквально (в смысле кошка движется от К0 до Е по синему, а мышка от М0 до Е по желтому) - то это ничего не даст. Кошка, не будь дура, как только увидит начало движения мыши по желтому, - тут же развернется и прибежит к Е по черному, существенно опередив мышь даже с учетом какой-нибудь реалистичной физики и немгновенного торможения. XD

igv105 2020-01-29 14:40:47 пишет:

Нет времени проверять, но вроде бы мышка за конечное время достигает этой окружности. А дальше никакого излома нет, мышка двигается по касательной, при отношении скоростей меньше 4.603... мышь убежит

KoKos 2020-01-27 21:11:31 пишет:

R-2, излом, который Вас смущает, - вообще находится исключительно у Вас в голове. ;) Как Вы же сами написали, "Мышка плавает по орбите с радиусом (почти) одна четверть". И это верно. Именно так и есть - если бы мышка плыла по орбите с радиусом ровно четверть, то она не могла бы отрываться от кошки. С другой стороны, снизу орбиту мышки ограничивает радиус 1-pi/4 = 0.2146 - с такого радиуса, повернув мгновенно (изломом) она приплывет точно в лапы кошке. Для орбиты любого другого радиуса строго между этими значениями (0.2146 < r < 0.25), например r=0.23 и скорости v=0.25(!) мышка будет иметь как запас угловой скорости, чтобы постепенно отрываться от кошки по орбите, так и запас расстояния от кошки в момент высадки на берег. И, соответственно, может себе позволить плавное скругление траектории в момент поворота - тем большее, чем ближе радиус к верхнему ограничителю и тем меньшее, чем ближе к нижнему. ;)

Что же касается идеального минимума скорости мышки 1/(pi+1) = 0.241453 - то как мы совсем недавно "проходили" уже в нескольких других задачах (при котором таки да, мышка будет обязана повернуть строго под прямым углом, не имея никаких запасов) - то он попросту недостижим (потому что мышка а) не сможет отрываться по углу и б) приплывет прямо в пасть). Так что минимальной скорости для мышки не существует. Вот и все.

R-2: Понятнее не стало.

Добавьте комментарий:

Обсуждаем

Задача Разрезанный треугольник:
http://lprobs.ru/img/yes.gif : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : Это было в 1913 году. Одиннадцатилетняя девочка, пансионерка Московской Ржевской гимназии очень прос...
Задача Гора.:
Xuzke : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : В школе все казалось правильным. Из математики следует физика, из физики следует химия, из химии сле...
R-2 : Ты решил: Ну, и наконец, то решение, которое тут видимо предполагается в идеале, я не буду говори...
Так, по старой памяти заглянул :) : R-2, условие неплохо бы конкретизировать. ;)) А то так вариантов может быть масса, хотя все обладают...
Задача 4 хода:
колд : [скрыто]
Задача Кот и мышка:
Дмитрий : [скрыто]
Задача Черная Жемчужина:
mskfirst : [скрыто]
Задача Квадратный торт:
не представился : [скрыто]
Задача Задача с ведрами: 9 и 4 = 6.:
ИносОйЧанбин : [скрыто]
Дкгк7 : [скрыто]
Задача Геометрическая 3:
не представился : [скрыто]
Алексей : [скрыто]
Гостевая книга:
R-2 : Дано: листочек бумаги и ручка. На листочке написаны три нуля. О О О Задача: «как из трёх нулей...

Реклама

© 2009-201x Логические задачи

Задачи на логику и сообразительность

Поиск на сайте

Задачи

Данетки

Справочная

Реклама

задача: Побег из круга

Ответ

Решение задачи

Ваши ответы на задачу

Обсуждаем

Реклама