Логические задачи : Путешествие через центр Земли

	"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов. Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное. Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.
Задачи на логику и сообразительность
Главная \| О проекте \| Все задачи-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C \| Добавить задачу

О сайте
Гостевая книга
ЧаВо

Пользователи
RSS

Поиск на сайте

запомнить меня

Задачи

Переливания и взвешивания

Теорвер, комбинаторика

Задания на наблюдательность

требуется помощь

Чисто поржать

Детские с подковыркой

Данетки

Текущие:

  Мой любимый грех (с)
  Математика в архитектуре
  Не сыпь мне соль на рану
  «Геометрическая»
  Высказывание Ломоносова
  Наверное, не про яблоки
  Комерция
  Везде градусы
  Вагончик тронется, вагончик тронется..
  Спасибо медикам и католикам))
  Специальная купюра
  Студенческая смекалка
  Эллипс vs Круг
  Современные технологии. Немецкий стандарт.
  Спортивная
  философская
  Про газету
  печатная монета
  Купюра евро
  Древние изобретения
  Биометрические паспорта
  Новый глава
  В далеком созвездии тау Кита... 8)))
  Огородное
  Средневековое строительство
  Жестокое наказание
  Их нравы - 4
  Европейский стандарт

Разгаданные недавно:

  этот модный тандыр
  Из Что-Где-Когда
  Может ли такое быть?
  Что изображено?
  Да на тебе пахать надо!

Справочная

Признаки делимости
Площади фигур

Реклама

Версия для смартфонов

задача: Путешествие через центр Земли

Задачу прислал: ivana2000

С Южного до Северного полюса Земли прорыт прямолинейный тоннель. С Северного полюса в тоннель отпускают кирпич с нулевой начальной скоростью. Через сколько времени кирпич достигнет Южного полюса?


+ 2 -

Ответ

Решение задачи

Земля - идеальный однородный шар радиусом 6400 км., трения нет, ускорение силы тяжести - 9.8 м/с^2.

Ваши ответы на задачу

ответов: 37

Вася Пупкин 2016-06-17 03:04:03 пишет:

А чего тут думать -- вместо Ньютона будет Гук. Полупериод колебания груза на пружине -- пи корня из эм к ка. А ка у нас, из Гука -- Эф делить на икс, то бишь, эмже делить на Р. Эм убрался, под корнем остался радиус земли, деленный на же. Итого, корень из (6 400 000/9,8), примерно, значит, корень из 640 000 -- 800 секунд, на пи еще -- ну, 2500 секунд, сорок минут.
Ивана2000, если что -- не буду, лень :)

ivana2000: Ну да, похоже. Попробуйте теперь решить «Интересное движение 3».

зарифа 2016-06-16 23:12:20 пишет:

Не достигнет?

ivana2000: Достигнет, но задача довольно сложная.

АндрейК 2014-10-21 21:57:51 пишет:

Вы серьезно что ли? Мне кажется, на фоне общего стеба не все поняли что кирпич не долетит до другого полюса потому, что присутствует хоть какое-то сопротивоение, то он не долетит потому, что миновав центр Земли, он будет тормозиться притяжением в обоюратную сторону.

ivana2000 2014-09-10 17:07:07 пишет:

Я там что-то про пружину написал.

Кирилл 2014-09-10 13:07:43 пишет:

Всё так. Но есть один нюанс. Исходя из формулы зависимости r(t), можно вычислить, что в центре Земли скорость кирпича должна быть v = sqrt(gR). Теперь зайдём с другой стороны. Изначально кирпич обладал потенциальной энергией W = gmR. В центре Земли потенциальная энергия полностью перешла в кинетическую E = (mv^2)/2. Приравниваем W к E и получаем, что скорость v = sqrt(2gR). Где ошибка?

ivana2000 2014-09-09 19:39:34 пишет:

Некоторые пояснения.

Сила, действующая на кирпич, пропорциональна расстоянию до центра Земли F=-k*r (будем считать, что это "доказано"). При r=R F=-m*g, откуда

k=m*g/R,

F=-(m*g/R)*r. (не напоминает ли обыкновенную пружину?).

Записываем уравнение второго закона Ньютона

m*r"=-(m*g/R)*r,

r"=-(g/R)*r.

Это уравнение гармонических колебаний. Его решением будет функция вида

r(t)=a*cos(f*t+b), f - круговая частота, a и b - произвольные постоянные, определяемые из начальных условий (в данном случае a=R, b=0).

Дифференцируем дважды (а можно просто найти формулу для периода колебаний)

r"=-a*f^2*cos(f*t+b), откуда

f^2=g/R, f=Sqrt(g/r).

Если T - период колебаний, то

f*T=2*PI, T=2*PI/f=2*PI*Sqrt(R/g)

T/2=PI*Sqrt(R/g) (не напоминает ли маятник, только очень длинный?)

Подставлям значения, получаем

T/2~2538.8 с.

Кстати, такой же результат получается если прорыть прямолинейный тоннель между двумя любыми точками поврхности Земли, считая ее однородным шаром и не учитывая суточное вращение.

Кирилл 2014-09-09 18:48:53 пишет:

Учитывая, что g = GM/R^2, получается так: T = pi * sqrt(R/g).

ivana2000: Браво!!!

ivana2000 2014-09-09 18:13:16 пишет:

Очень похоже, только не могли бы Вы привести результат к зависимости T=T(R,g).

R=6400 км - радиус Земли.

g=9.8 м/с^2 - ускорение силы тяжести на поверхности.

Вместо двух штрихов, наверное, можно использовать кавычку (").

Кирилл 2014-09-09 13:19:20 пишет:

Странно. Два штриха не пропускает. В общем, имелась в виду вторая производная по времени.

Кирилл 2014-09-09 13:18:29 пишет:

x' конечно же.

Кирилл 2014-09-09 13:17:37 пишет:

В формульном выражении у меня получилась следующая зависимость: T = pi * sqrt(R^3 / GM). В числовом - 2534 секунды. Само уравнение выглядит так: x' = - GMx/R^3.

Кирилл 2014-09-08 13:12:14 пишет:

Надо вычислить, через какое время кирпич достигнет центра Земли. До южного полюса кирпич будет лететь в два раза дольше (считаем, что Земля - идеальный шар, а сопротивления воздуха нет). Вычислить время можно путём решения дифференциального уравнения, но можно и проще. Назовём это астрономическим методом. Представим себе, что кирпич движется по очень вытянутой эллиптической орбите (ведь отрезок - это эллипс с эксцентриситетом, равным 1). Тогда согласно третьему закону Кеплера имеем: (a2/a1)^3 = (T2/T1)^2, где a1 и a2 - большие полуоси орбит двух тел, а T1 и T2 - периоды обращения этих тел. Первым телом будет кирпич, вторым можно выбрать Луну. a1 = 384400 км (среднее расстояние от Земли до Луны), a2 = 3189 км (половина среднего радиуса Земли), Т1 = 27.3 суток (сидерический период обращения Луны вокруг Земли). Подставив эти числа в уравнение, находим что Т2 = 1782 секунды. Таким образом, кирпич долетит до южного полюса примерно за полчаса.

ivana2000: Идея интересная (хотя, удобнее рассматривать не Луну, а искусственный спутник Земли на круговой орбите), однако третий закон Кеплера справедлив для материальных точек, притягивающихся по закону обратных квадратов. В данном случае сила притяжения, как уже неоднократно упоминалось, будет иметь другую зависимость. Удивительно, но даже эта, другая, зависимость приводит к эллиптическому движению, но несколько к другому, не кеплеровскому.

Насчет дифференциального уравнения.

Не надо его решать, решение давно известно. Попробуйте найти зависимость силы и просто составить это уравнение. По аналогии все станет ясно.

K2 2014-06-19 13:33:21 пишет:

ПС: r2 + rd2 - надо бы заменить... ну - сами_знаете_на_что :)

K2 2014-06-19 13:32:14 пишет:

А я ем яблоко и смотрю в окно (с) :) (по крайней мере пока не закончится возня с этим Очевидным ускорением...)

ivana2000 2014-06-19 01:38:47 пишет:

Картинка к предидущему комментарию.

KoKos 2014-06-18 21:37:03 пишет:

ivana2000, Вы меня окончательно запутали. :)))

1. Почему нельзя узнать зависимость? Если нам наперед известно, что она линейная и мы имеем две точки (а ведь мы их имеем - центр 0:0 и поверхность 6.4е6:9.8), то точную зависимость мы получаем просто-таки "с куста". :) Разве нет? 8))) Собственно, я ее и использовал при решении.

2. Ну, тогда уж все-таки эр1 и эр2 должны быть *не* сторонами треугольников, а все же их высотами. И треугольники должны быть равнобедренными. ;) Для того, чтобы можно было пытаться говорить о подобии еще до предельного перехода.

3. Зачем??? Как видим, я спокойно без этого обошелся?

4. Ну выкладывайте уж - что же это за зверь такой там "очень известный" и из которого ответ получается по одному лишь его виду, без решения??? А то мне ничего не приходит в голову эдакого? :)))

Ну и мелкую шпильку позвольте? Линейность падения Же - тоже очень известная штука, как видим по остальным ответам. Да и таки да - даже в школе ее проходят. 8))) Так почему уравнение можно не решать, а вот Же вдруг нужно? Ж)))

ivana2000: 1. Наперед неизвестно, т.к. не доказано.
Насчет вашего решения, то я его не совсем понял. Если s(t) это координата, то откуда берется соотношение

s(t)=интеграл(g(t)*t*dt). Если считать, что g(t)*t это скорость к моменту t, то это неправильно, т.к. известна (но не доказана) зависимость не g(t), а g(R). Может быть я чего-то не улавливаю, но тогда хотелось бы подробностей. И еще: а что за величина 6.5e5?
2. Еще одна картинка. Треугольники ABm и CDm подобны. Почему? Потому, что равны соответствующие углы: два вертикальных и две пары, опирающихся на одну дугу окружности.

|AB|/|CD|=r1/r2=(r1+dr1)/(r2+dr2)

В пределе dr1 и dr2 стремятся к нулю, так что |AB|/|CD|=r1/r2.

K2 2014-06-18 20:38:30 пишет:

F = G*m*M/R^2 -- нее, не слышал, моя судьба это попкорн. (тем более что у меня в ехеле нет 6400000 строк - не получится "перебором"...)

ivana2000: А что, в ехеле нет циклов? Я им не пользуюсь, поэтому не знаю.

K2 2014-06-18 19:42:44 пишет:

** достаёт попкорн и устраивается поудобнее **

ivana2000: К2, я несколько удивлен, но почему Вы не решаете эту задачу методом перебора, правда для этого необходимо знать выражение для силы. Так что, настоятельно рекомендую Вам и всем остальным отложить попкорн и решить задачку также и этим методом, т.е. численно, и сравнить результаты. Это исключетельно полезно (на полном серьезе).

K2 2014-06-18 14:34:58 пишет:

+1 ...

KoKos 2014-06-18 12:34:42 пишет:

:) ivana2000, Вы уж определитесь - надо решить задачу на нахождение времени, - или строго доказать промежуточное утверждение, использующееся при ее решении, как данность?

А что касается чистой геометрии и уж тем более "подобия треугольников" - тут я с Вами в корне не согласен. По меньшей мере, ;) до уточнения того, что именно Вы в данном построении называете "треугольниками"? В "треугольнике" ABm, например, сторона АВ по-Вашему - дуга или хорда? ;)

ivana2000: 1. KoKos, дело в том, что без решения этой промежуточной задачи, нельзя узнать зависимость силы тяжести от радиуса. А зависимость эта нужна для составления уравнения движения.

2. Насчет подобия. Т.к. углы AmB и CmD являются бесконечно малыми величинами, то совершенно неважно являются ли AB или CD хордами или дугами, т.к. в пределе длина дуги AB равна длине хорды AB. В том же пределе |Am|=|Bm|=r1, |Cm|=|Dm|=r2, а силы F1 и F2 направлены противоположно. Остается только, пользуясь подобием, оценить соотношение между F1 и F2 (должно занять ~5-10 мин.)

3. Далее, необходимо составить уравнение 2-го закона Ньютона F=m*w (w-ускорение), подставив в него выражение для силы и вспомнив, что такое ускорение.

4. Уравнение получится очень известное (его даже в школе проходят), описывает многие процессы и не только в механике, решать его не надо, т.к. решение давно известно и исследовано. Только по виду этого уравнения можно получить окончательный ответ.

Добавьте комментарий:

Обсуждаем

Задача Разрезанный треугольник:
http://lprobs.ru/img/yes.gif : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : Это было в 1913 году. Одиннадцатилетняя девочка, пансионерка Московской Ржевской гимназии очень прос...
Задача Гора.:
Xuzke : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : В школе все казалось правильным. Из математики следует физика, из физики следует химия, из химии сле...
R-2 : Ты решил: Ну, и наконец, то решение, которое тут видимо предполагается в идеале, я не буду говори...
Так, по старой памяти заглянул :) : R-2, условие неплохо бы конкретизировать. ;)) А то так вариантов может быть масса, хотя все обладают...
Задача 4 хода:
колд : [скрыто]
Задача Кот и мышка:
Дмитрий : [скрыто]
Задача Черная Жемчужина:
mskfirst : [скрыто]
Задача Квадратный торт:
не представился : [скрыто]
Задача Задача с ведрами: 9 и 4 = 6.:
ИносОйЧанбин : [скрыто]
Дкгк7 : [скрыто]
Задача Геометрическая 3:
не представился : [скрыто]
Алексей : [скрыто]
Гостевая книга:
R-2 : Дано: листочек бумаги и ручка. На листочке написаны три нуля. О О О Задача: «как из трёх нулей...

Реклама

© 2009-201x Логические задачи

Задачи на логику и сообразительность

Поиск на сайте

Задачи

Данетки

Справочная

Реклама

задача: Путешествие через центр Земли

Ответ

Решение задачи

Ваши ответы на задачу

Обсуждаем

Реклама