Логические задачи : Несколько неравенств

	"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов. Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное. Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.
Задачи на логику и сообразительность
Главная \| О проекте \| Все задачи-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C \| Добавить задачу

О сайте
Гостевая книга
ЧаВо

Пользователи
RSS

Поиск на сайте

запомнить меня

Задачи

Переливания и взвешивания

Теорвер, комбинаторика

Задания на наблюдательность

требуется помощь

Чисто поржать

Детские с подковыркой

Данетки

Текущие:

  Мой любимый грех (с)
  Математика в архитектуре
  Не сыпь мне соль на рану
  «Геометрическая»
  Высказывание Ломоносова
  Наверное, не про яблоки
  Комерция
  Везде градусы
  Вагончик тронется, вагончик тронется..
  Спасибо медикам и католикам))
  Специальная купюра
  Студенческая смекалка
  Эллипс vs Круг
  Современные технологии. Немецкий стандарт.
  Спортивная
  философская
  Про газету
  печатная монета
  Купюра евро
  Древние изобретения
  Биометрические паспорта
  Новый глава
  В далеком созвездии тау Кита... 8)))
  Огородное
  Средневековое строительство
  Жестокое наказание
  Их нравы - 4
  Европейский стандарт

Разгаданные недавно:

  этот модный тандыр
  Из Что-Где-Когда
  Может ли такое быть?
  Что изображено?
  Да на тебе пахать надо!

Справочная

Признаки делимости
Площади фигур

Реклама

Версия для смартфонов

задача: Несколько неравенств

Задачу прислал: ivana2000

Последовательно докажите неравенства на картинке.
Xi >= 0, i = 1,2,3 ...,n.


+ 1 -

Ответ

Решение задачи

Ваши ответы на задачу

ответов: 35

ivana2000 2016-07-12 12:21:16 пишет:

Зарифа, похоже, у Вас там скобка лишняя, но все ясно.
Смотрим картинку. Общая идея понятна. Например, рассмотрим Н3(8). Разбиваем исходное арифметическое среднее на среднее от двух средних с n=8/2=4 и применяем Н2. Получаем под корнем два множителя и к каждому применяем, уже доказанное на предыдущем шаге, Н3(4).И.т.д. Таким образом, по индукции ясно, что Н3(n) будет выполняться для любого n=2^k, причем для доказательства достаточно только Н2.
Для доказательства Н4 нужно или x1*x2*x3, или же (x1*x2*x3)^(1/3), как удобней, представить в виде произведения четырех сомножителей. Подумайте, как это сделать.

P.S.
KoKos, все правильно. Из «полезного неравенства», т.н. неравенства Коши-Буняковского (КБ), следует Н8. Наверное, это более сильное неравенство. Но вот из Н8 КБ как-то просто не вытекает. Попробуйте, может у Вас получится.

KoKos 2016-07-11 20:53:29 пишет:

>> Да, и кстати, KoKos, Н8 не имеет никакого отношения к «Полезному неравенству».
Да, и кстати, ivana2000, подставьте в "полезное неравенство" Bi=1/n и повторите это еще раз, медленно. ;)))

ivana2000: А по делу-то что-нибудь будет?

зарифа 2016-07-11 19:16:38 пишет:

итак,чтобы доказать третье делаю замену
a=(a+b)/2 , b=(c+d)/2
(a+b+c+d)/4>=sqrt{(((a+b)/2)*((c+d)/2)}> >=sqrt{sqrt(ab)*sqrt(cd)}=(abcd)^(1/4)
дважды применила второе.

ivana2000: Н1 (+), Н2 (+), Н3 (+). Продолжайте.

зарифа 2016-07-11 18:57:27 пишет:

чтобы доказать №4 тоже нужно сделать замену? и дальше доказывать индукцией? (вверх или вниз)?

не представился 2016-07-11 17:59:13 пишет:

KoKos, камешек в Ваш огород, даже не думал бросать, как, впрочем, не знал, что эта задача со своеобразной бородой. Просто подумал, что Автор очередным Профессорством решил заняться:)

KoKos 2016-07-11 17:27:07 пишет:

ivana2000, давайте не будем перевирать историю?

- доказательства я Вам предлагал в ассортименте, Вы же от них отмахнулись тем, что *Ваш* "здравый смысл" неприемлет многомерной геометрии. Про "Ваш" - это мое предположение, которое менее кощунственно, чем попытка приписать Вам доскональное знание всех других "здравых смыслов" на планете. ;)))
- мамой клянетесь здесь Вы один, я такой дурной привычки не имею.
- и надо полагать, что "утверждал, что и слыхом не слыхивал о классических неравенствах о средних" - это Вы о моем комментарии от 2015-08-30 00:25:31 ? Ню-ню... :))

Врите, да не завирайтесь. ;)

ivana2000 2016-07-11 16:57:01 пишет:

Немного предыстории.
KoKos говорит о задаче «Полезное неравенство», где именно он создал прецедент, совершенно бездоказательно перенеся все свойства 3-пространства на любое пространство n измерений. Но на самом-то деле все делается с точностью до наоборот. Да, KoKos не ищет кружные пути, он предпочитает замкнутые круги.

В задачках «Для устного счета ...» KoKos утверждал, что он, «мамой клянусь!», и слыхом не слыхивал о классических неравенствах о средних. Видимо, для него все неравенства закончились на Н1 (неравенство 1)

a^2 + b^2 >= 2ab.

Двинуться дальше – лень. Да и зачем? А ответ находится в эпиграфе данного сайта. Да, и кстати, KoKos, Н8 не имеет никакого отношения к «Полезному неравенству».

Этой задачей я решил восполнить этот пробел, а то вдруг еще кто-то не знает о среднем арифметическом A(n), геометрическом G(n), гармоническом H(n) и квадратичном Q(n) и соотношениях между ними. Кстати, НП, буду называть Вас так (Не Представился), Вы там что-то писали о «зю» и «пэ», а про эти неравенства-то слышали?

Зарифа, Н1 доказывается элементарно, а если в нем сделать замену
x1 → Sqrt(x1), x2 → Sqrt(x2),
то получим Н2. Гораздо больший интерес представляет Н3. Не зря в Н3
n = 4 = 2^2.
Оказывается, что если n является степенью двойки, то неравенства подобные Н3 доказываются очень легко. Например, Н3(16) легко следует из Н3(8) и Н2, которое легко следует из Н3(4) и Н2, которое уже просто легко следует из Н2. Т.о. Н2 можно назвать Н3(2). Общая схема такова:
Н2 → Н3(4) → Н3(8) → Н3(16) → Н3(32)...
Попробуйте, только не запутайтесь.
Сложнее дело обстоит с Н4, т.к. проще сначала доказать Н3 и из него уже получить Н4, а не наоборот.
Н5 – это знаменитое неравенство Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом. В одной из известных книг по неравенствам собрано аж ~20 доказательств этого интересного факта. Н5 следует из Н4, Н3 и Н2, если сделать обобщения. Н6 является прямым следствием Н5, Н8 – следствие примера Н7 и Н1.
Попробуйте, задавайте вопросы, докажите все это, ну, хотя бы ради KoKosа.

зарифа 2016-07-11 08:29:48 пишет:

Второе :
Обе части возведу в квадрат
a^2+2ab+b^2>=4ab
a^2+b^2>=2ab
А это мы уже доказали

ivana2000: Н1 (+), Н2 (+). Продолжайте.

зарифа 2016-07-11 08:26:42 пишет:

Первое доказывается элементарно. Скорее всего последующие опираются на предыдущие, так ведь?
(a-b)^2>=0
a^2+b^2-2ab>=0
a^2+b^2>=2ab

KoKos 2016-07-10 23:56:21 пишет:

не представился, так это что - в мой огород был камешек? Я его не понял. 8)) Что касается неравенств, ivana2000 продолжает старательно пропагандировать свой путь. Я не вижу необходимости ходить кружными тропами. Восьмое неравенство доказывается в один шаг при помощи скалярного произведения (но Автор такое доказательство не примет, прецедент имеется :), пятое и шестое еще могут быть интересны сами по себе, но и только. Все остальные - частные случаи, особого интереса не вызывающие. :)

не представился 2016-07-10 21:35:58 пишет:

ivana2000, ну на счет сигма и П, Вы как ребенок, за чистую монету приняли:)

ivana2000 2016-07-10 12:24:01 пишет:

Не представился, все действительно довольно просто, а смысл в том, что каждое следующее неравенство является или следствием предыдущего/предыдущих, или же некоего метода, применяемого для доказательства предыдущих неравенств.
Знаки суммы (большая сигма) и произведения (П) используются уже лет 250, так что, ничего нового.

Вот примеры.

не представился 2016-07-10 09:15:21 пишет:

Единственное, что мне не понятно, это какая то большая зю, и большая пэ. Это, что новенькое в обозначении математики?

не представился 2016-07-10 08:56:32 пишет:

Ну, а если серьезно, они все своеобразно тождественны. Меняется правая - левая стороны (числитель - знаменатель). Если индексы при иксах упразднить, то неравенство, можно смело заменить на равенство: XD

не представился 2016-07-10 08:48:01 пишет:

Первая, вторая - решается элементарно. Третья, четвертая - вообще без проблем. Пятая, шестая - можно было бы и не задавать. Седьмая и восьмая - как два пальца об асфальт.

Добавьте комментарий:

Обсуждаем

Задача Разрезанный треугольник:
http://lprobs.ru/img/yes.gif : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : Это было в 1913 году. Одиннадцатилетняя девочка, пансионерка Московской Ржевской гимназии очень прос...
Задача Гора.:
Xuzke : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : В школе все казалось правильным. Из математики следует физика, из физики следует химия, из химии сле...
R-2 : Ты решил: Ну, и наконец, то решение, которое тут видимо предполагается в идеале, я не буду говори...
Так, по старой памяти заглянул :) : R-2, условие неплохо бы конкретизировать. ;)) А то так вариантов может быть масса, хотя все обладают...
Задача 4 хода:
колд : [скрыто]
Задача Кот и мышка:
Дмитрий : [скрыто]
Задача Черная Жемчужина:
mskfirst : [скрыто]
Задача Квадратный торт:
не представился : [скрыто]
Задача Задача с ведрами: 9 и 4 = 6.:
ИносОйЧанбин : [скрыто]
Дкгк7 : [скрыто]
Задача Геометрическая 3:
не представился : [скрыто]
Алексей : [скрыто]
Гостевая книга:
R-2 : Дано: листочек бумаги и ручка. На листочке написаны три нуля. О О О Задача: «как из трёх нулей...

Реклама

© 2009-201x Логические задачи

Задачи на логику и сообразительность

Поиск на сайте

Задачи

Данетки

Справочная

Реклама

задача: Несколько неравенств

Ответ

Решение задачи

Ваши ответы на задачу

Обсуждаем

Реклама