Логические задачи : Точка внутри угла 3

	"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов. Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное. Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.
Задачи на логику и сообразительность
Главная \| О проекте \| Все задачи-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C \| Добавить задачу

О сайте
Гостевая книга
ЧаВо

Пользователи
RSS

Поиск на сайте

запомнить меня

Задачи

Переливания и взвешивания

Теорвер, комбинаторика

Задания на наблюдательность

требуется помощь

Чисто поржать

Детские с подковыркой

Данетки

Текущие:

  Мой любимый грех (с)
  Математика в архитектуре
  Не сыпь мне соль на рану
  «Геометрическая»
  Высказывание Ломоносова
  Наверное, не про яблоки
  Комерция
  Везде градусы
  Вагончик тронется, вагончик тронется..
  Спасибо медикам и католикам))
  Специальная купюра
  Студенческая смекалка
  Эллипс vs Круг
  Современные технологии. Немецкий стандарт.
  Спортивная
  философская
  Про газету
  печатная монета
  Купюра евро
  Древние изобретения
  Биометрические паспорта
  Новый глава
  В далеком созвездии тау Кита... 8)))
  Огородное
  Средневековое строительство
  Жестокое наказание
  Их нравы - 4
  Европейский стандарт

Разгаданные недавно:

  этот модный тандыр
  Из Что-Где-Когда
  Может ли такое быть?
  Что изображено?
  Да на тебе пахать надо!

Справочная

Признаки делимости
Площади фигур

Реклама

Версия для смартфонов

задача: Точка внутри угла 3

Задачу прислал: ivana2000

Через точку внутри угла провести прямую, отсекающую от него треугольник минимального периметра.


+ 1 -

Ответ

Решение задачи

Ваши ответы на задачу

ответов: 8

ivana2000 2016-01-18 15:45:20 пишет:

Вписываем в угол произвольную окружность.
Проводим прямую AM. Точка пересечения этой прямой с окружностью – M'. Через M' проводим касательную до пересечения со сторонами угла в точках B' и C'. Проводим через M прямую, параллельную B'C', до пересечения со сторонами угла в точках B и C. Треугольник ABC и есть искомый треугольник. Обоснования у T-2.

T-2 2016-01-18 13:43:42 пишет:

Воспользуюсь Вашим рисунком "существенной подсказки". Добавлю некоторые обозначения: А - вершина угла, О - центр окружности, В и С - точки касания окружности О с верхней и нижней сторонами угла соответственно, В' и С' - точки пересечения прямой, проходящей через точку М и касающуюся окружности О, с верхней и нижней сторонами угла соответственно. Точку касания В'С' с окружность О обозначим К. Кроме того, обозначим через М' ближайшую к А точку пересечения прямой AM с окружностью О.
Так как (как длины отрезков касательных, проведенных из одной точки) B'B=B'K и C'C=C'K, то периметр треугольника AB'C' равен сумме длин отрезков AB' и АC', при этом AB' = AC'. Таким образом, периметр треугольника AB'C' будет наименьшим, когда точки B' и C' будут наиболее близко к А. Это произойдет тогда, когда вписанная в угол окружность (обозначим ее центр O') пройдет через точку М, а отрезок прямой, проходящей через точку M, будет касаться этой окружности в точке М.
Построение искомой прямой: построим к окружности О касательную в точке M'. Прямая, проходящая через точку М, параллельная этой касательной и будет искомой (как строить касательные и параллельные прямые я упускаю).

ivana2000: Похоже.

Александр 2016-01-17 09:06:48 пишет:

Треугольник должен быть равнобедренным.
Прямая перпендикулярна бисектрисе угла.

ivana2000: В общем случае это не так.

KoKos 2015-11-03 00:30:43 пишет:

Занятно. :)) И ведь известнейшее свойство, а не увидел в упор... Позор на мои седины. :) Ну что ж, дальнейшая логика очевидна - минимум достигается тогда, когда точка М сама лежит на окружности. Как бы еще это все построить - подумаю на досуге.

А мое решение таки неверно, зря я сбросил со счетов те e+f - надо было не полениться и покачать таки сторону туда-сюда, если уж не рассматривать их строго. Оно довольно близкое, но, как видим, вредная величина таки хочет, чтобы с ней тоже посчитались. :)))

ivana2000: Ну да, похоже. Осталось построить и обосновать.

ivana2000 2015-11-01 16:49:15 пишет:

Существенная подсказка.

ivana2000 2015-10-28 22:04:51 пишет:

KoKos, вообще говоря само построение делается несколько по-другому. Может ваше построение и правильное, но разбираться не хочется, т.к. Вы сами указали на некий пробел в доказательстве, связанный с величиной e+f.
Можно несколько изменить задачу, построив треугольник заданного периметра. Ну а потом уже добиться минимальности.

KoKos 2015-10-14 18:07:55 пишет:

Итак, угол ABC и точка D у нас даны. "Любимый" параллелограмм ABCD достраиваем из нескольких соображений - он нам ограничивает повороты искомой стороны (иначе треугольник не получится) и превращает периметр искомого треугольника BGH в сумму периметров двух подобных (как между собой, так и искомому) треугольников AGD (или abe) и CDH (он же cdf). Минимизировать же нам надо сумму a+b+c+d+e+f, причем b и c - фиксированные константы, предопределеные условием. Из подобия: a/b=c/d или a*d=b*c. Минимум суммы a+d, как известно, достигается при a=d=sqrt(b*c). Вот тут слабое место - что этого минимума нам будет достаточно, и оставшиеся "за кадром" e+f не смогут ему помешать. Как это доказать на пальцах не вдаваясь в разбор малых. приращений, я что-то в упор не вижу... А так, дольше все просто: корень, который у нас среднее геометрическое :)) строим дополнительным построением - дуга AE с центром в B - полуокружность на диаметре СЕ - перпендикуляр BF и есть искомый корень. Его длиной откладываем на сторонах угла AG и CH и получаем недостающую сторону треугольника.

KoKos 2015-10-14 16:48:22 пишет:

Ну и задачки Вы задаете... 8))) На сей раз без строгого доказательства - ибо тут уже у меня никаких идей нет, кроме как копаться в малых приращениях при повороте. :( Общая идея - на рисунке, сейчас напишу пояснение.

Добавьте комментарий:

Обсуждаем

Задача Разрезанный треугольник:
http://lprobs.ru/img/yes.gif : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : Это было в 1913 году. Одиннадцатилетняя девочка, пансионерка Московской Ржевской гимназии очень прос...
Задача Гора.:
Xuzke : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : В школе все казалось правильным. Из математики следует физика, из физики следует химия, из химии сле...
R-2 : Ты решил: Ну, и наконец, то решение, которое тут видимо предполагается в идеале, я не буду говори...
Так, по старой памяти заглянул :) : R-2, условие неплохо бы конкретизировать. ;)) А то так вариантов может быть масса, хотя все обладают...
Задача 4 хода:
колд : [скрыто]
Задача Кот и мышка:
Дмитрий : [скрыто]
Задача Черная Жемчужина:
mskfirst : [скрыто]
Задача Квадратный торт:
не представился : [скрыто]
Задача Задача с ведрами: 9 и 4 = 6.:
ИносОйЧанбин : [скрыто]
Дкгк7 : [скрыто]
Задача Геометрическая 3:
не представился : [скрыто]
Алексей : [скрыто]
Гостевая книга:
R-2 : Дано: листочек бумаги и ручка. На листочке написаны три нуля. О О О Задача: «как из трёх нулей...

Реклама

© 2009-201x Логические задачи

Задачи на логику и сообразительность

Поиск на сайте

Задачи

Данетки

Справочная

Реклама

задача: Точка внутри угла 3

Ответ

Решение задачи

Ваши ответы на задачу

Обсуждаем

Реклама