"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов. Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное. Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.

Задачи на логику и сообразительность




О сайте
Гостевая книга
ЧаВо

Пользователи
RSS

Поиск на сайте





запомнить меня
Зарегистрироваться


Задачи



Данетки


Текущие:

  «Геометрическая»
  Высказывание Ломоносова
  Наверное, не про яблоки
  Комерция
  Везде градусы
  Вагончик тронется, вагончик тронется..
  Спасибо медикам и католикам))
  Специальная купюра
  Студенческая смекалка
  Эллипс vs Круг
  Современные технологии. Немецкий стандарт.
  Спортивная
  философская
  Про газету
  печатная монета
  Купюра евро
  Древние изобретения
  Биометрические паспорта
  Новый глава
  В далеком созвездии тау Кита... 8)))
  Огородное
  Средневековое строительство
  Жестокое наказание
  Их нравы - 4
  Европейский стандарт

Разгаданные недавно:

  этот модный тандыр
  Из Что-Где-Когда
  Может ли такое быть?
  Что изображено?
  Да на тебе пахать надо!


Справочная



Признаки делимости
Площади фигур


Реклама






задача: Точка внутри угла 3

Задачу прислал: ivana2000


Сложность: средняяЧерез точку внутри угла провести прямую, отсекающую от него треугольник минимального периметра.



Ответ





Решение задачи





Ваши ответы на задачу


ответов: 8

ivana2000 2016-01-18 15:45:20 пишет:
Вписываем в угол произвольную окружность.
Проводим прямую AM. Точка пересечения этой прямой с окружностью – M'. Через M' проводим касательную до пересечения со сторонами угла в точках B' и C'. Проводим через M прямую, параллельную B'C', до пересечения со сторонами угла в точках B и C. Треугольник ABC и есть искомый треугольник. Обоснования у T-2.



T-2 2016-01-18 13:43:42 пишет:
Воспользуюсь Вашим рисунком "существенной подсказки". Добавлю некоторые обозначения: А - вершина угла, О - центр окружности, В и С - точки касания окружности О с верхней и нижней сторонами угла соответственно, В' и С' - точки пересечения прямой, проходящей через точку М и касающуюся окружности О, с верхней и нижней сторонами угла соответственно. Точку касания В'С' с окружность О обозначим К. Кроме того, обозначим через М' ближайшую к А точку пересечения прямой AM с окружностью О.
Так как (как длины отрезков касательных, проведенных из одной точки) B'B=B'K и C'C=C'K, то периметр треугольника AB'C' равен сумме длин отрезков AB' и АC', при этом AB' = AC'. Таким образом, периметр треугольника AB'C' будет наименьшим, когда точки B' и C' будут наиболее близко к А. Это произойдет тогда, когда вписанная в угол окружность (обозначим ее центр O') пройдет через точку М, а отрезок прямой, проходящей через точку M, будет касаться этой окружности в точке М.
Построение искомой прямой: построим к окружности О касательную в точке M'. Прямая, проходящая через точку М, параллельная этой касательной и будет искомой (как строить касательные и параллельные прямые я упускаю).
   ivana2000: Похоже.

Александр 2016-01-17 09:06:48 пишет:
Треугольник должен быть равнобедренным.
Прямая перпендикулярна бисектрисе угла.
   ivana2000: В общем случае это не так.

KoKos 2015-11-03 00:30:43 пишет:
Занятно. :)) И ведь известнейшее свойство, а не увидел в упор... Позор на мои седины. :) Ну что ж, дальнейшая логика очевидна - минимум достигается тогда, когда точка М сама лежит на окружности. Как бы еще это все построить - подумаю на досуге.

А мое решение таки неверно, зря я сбросил со счетов те e+f - надо было не полениться и покачать таки сторону туда-сюда, если уж не рассматривать их строго. Оно довольно близкое, но, как видим, вредная величина таки хочет, чтобы с ней тоже посчитались. :)))
   ivana2000: Ну да, похоже. Осталось построить и обосновать.

ivana2000 2015-11-01 16:49:15 пишет:
Существенная подсказка.


ivana2000 2015-10-28 22:04:51 пишет:
KoKos, вообще говоря само построение делается несколько по-другому. Может ваше построение и правильное, но разбираться не хочется, т.к. Вы сами указали на некий пробел в доказательстве, связанный с величиной e+f.
Можно несколько изменить задачу, построив треугольник заданного периметра. Ну а потом уже добиться минимальности.

KoKos 2015-10-14 18:07:55 пишет:
Итак, угол ABC и точка D у нас даны. "Любимый" параллелограмм ABCD достраиваем из нескольких соображений - он нам ограничивает повороты искомой стороны (иначе треугольник не получится) и превращает периметр искомого треугольника BGH в сумму периметров двух подобных (как между собой, так и искомому) треугольников AGD (или abe) и CDH (он же cdf). Минимизировать же нам надо сумму a+b+c+d+e+f, причем b и c - фиксированные константы, предопределеные условием. Из подобия: a/b=c/d или a*d=b*c. Минимум суммы a+d, как известно, достигается при a=d=sqrt(b*c). Вот тут слабое место - что этого минимума нам будет достаточно, и оставшиеся "за кадром" e+f не смогут ему помешать. Как это доказать на пальцах не вдаваясь в разбор малых. приращений, я что-то в упор не вижу... А так, дольше все просто: корень, который у нас среднее геометрическое :)) строим дополнительным построением - дуга AE с центром в B - полуокружность на диаметре СЕ - перпендикуляр BF и есть искомый корень. Его длиной откладываем на сторонах угла AG и CH и получаем недостающую сторону треугольника.

KoKos 2015-10-14 16:48:22 пишет:
Ну и задачки Вы задаете... 8))) На сей раз без строгого доказательства - ибо тут уже у меня никаких идей нет, кроме как копаться в малых приращениях при повороте. :( Общая идея - на рисунке, сейчас напишу пояснение.


Добавьте комментарий:
Автор:

Комментарий:

Пожалуйста, введите символы с картинки:
(подтверждение не требуется для зарегистрированных пользователей)



 





Обсуждаем

  Задача Может ли такое быть?:
не представился : [скрыто]
не представился : [скрыто]
ivana2000 : [скрыто]
Задача Задача для связиста:
не представился : [скрыто]
Задача Может ли такое быть?:
не представился : [решил задачу]
Задача 100 мальчиков на 100 комнат:
МИСТЕР ТУПОЙ : [скрыто]
Задача Может ли такое быть?:
не представился : [скрыто]
ivana2000: Да.
не представился : [скрыто]
ivana2000: Верхняя фигура является объектом, нижняя – его образом (отражением) в зеркале.
Задача Интересно:
Вероника : [скрыто]
Задача Взлёт или посадка?:
KoKos : [скрыто]
Задача Что изображено 2?:
Иван : [скрыто]
ivana2000: Да, но есть еще кое-что.
Задача Взлёт или посадка?:
KoKos : [скрыто]
Админ: :) Может, сразу в ракетную шахту паркуется?
Задача Музыкальная система:
Альбина : [скрыто]
ivana2000: А какие-нибудь краткие пояснения?
Альбина : [скрыто]
ivana2000: Точно.
Задача Яблоки для Буратино:
rumax : [скрыто]
Админ: он мог и дальше оставаться должным



Реклама



© 2009-201x Логические задачи