"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов. Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное. Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.

Задачи на логику и сообразительность




О сайте
Гостевая книга
ЧаВо

Пользователи
RSS

Поиск на сайте





запомнить меня
Зарегистрироваться


Задачи



Данетки


Текущие:

  «Геометрическая»
  Высказывание Ломоносова
  Наверное, не про яблоки
  Комерция
  Везде градусы
  Вагончик тронется, вагончик тронется..
  Спасибо медикам и католикам))
  Специальная купюра
  Студенческая смекалка
  Эллипс vs Круг
  Современные технологии. Немецкий стандарт.
  Спортивная
  философская
  Про газету
  печатная монета
  Купюра евро
  Древние изобретения
  Биометрические паспорта
  Новый глава
  В далеком созвездии тау Кита... 8)))
  Огородное
  Средневековое строительство
  Жестокое наказание
  Их нравы - 4
  Европейский стандарт

Разгаданные недавно:

  этот модный тандыр
  Из Что-Где-Когда
  Может ли такое быть?
  Что изображено?
  Да на тебе пахать надо!


Справочная



Признаки делимости
Площади фигур


Реклама






задача: Стырил в инете, задача про жучка.

Задачу прислал: K2


Сложность: сложныеНо вроде понравилась (потому и стырил) - с первого раза не решилось, со второго - тоже :) На третий Вроде что-то придумалось, но... хочется (попытаться) и другим мозги помучить ;) Итак:



Резиновый шнур длиной 1км одним концом прикреплен прикреплен к стене, другой у вас в руке. Жучок начинает ползти по шнуру от стены со скоростью 1см/с. Когда он проползает один сантиметр, вы удлиняете резину на 1км, когда он проползает
второй сантиметр - еще на 1км, и так каждую секунду. Спрашивается: доползет ли жучок до вас, и если доползет, то за какое время?



Ответ



(Известно, что А.Д.Сахаров решил эту задачу меньше, чем за минуту.) ("говорят" - мож и приврали для красного словца а может и... кто их знает...)

Решение задачи



А ещё интересно где делают Такие резинки, и насколько дофига она растянется, и хорошая ли из неё бы вышла рогатка :)

Ваши ответы на задачу


ответов: 9

K2 2014-07-22 10:59:55 пишет:
НУ, моя очередь. Сначала тоже пытался считать координату "каждого раза", но уже после 4-го стало как-то... Не перспективно что ли (не, не уютно), тогда попробовал "на пальцах". В первый заход жук проползает 1 см - это ясно. Во второй - наша резинка растянута вдвое, но он проползает опять 1 см по вдвое растянутой, а значит 1/2 см "исходной" резинки. Третий шаг - ... - нет, не "profit", но 1/3 см и уже с этого момента вполне себе очевидно что мы имеем дело с этим самым гармоническим рядом, про который я помнил только то что он бывает, и самое главное - что он Расходится. Остальное пришлось искать...
В целом рассуждения вроде как идентичны предыдущим, но как бы более... грубо что ли... но зато (возможно) более понятны для начинающих, который (ну а вдруг) могут сюда заглянуть и сойти с ума если мы будем говорить исключительно "на своём языке" %)

ivana2000 2014-07-21 22:43:22 пишет:


Как-то криво. Попробую. еще раз.


Дискретный вариант.

Каждая следующая координата жучка X(n+1) по "нерастяжимой" оси получается из предидущей X(n) увеличением на 1см и умножением полученной суммы на коэффициент растяжения L(n+1)/L(n), где L(n) - длина резинки на n-ом шаге. Т.к.

L(n)=L0(n+1)*L0 км, где

L0=1км - начальная длина, то

L(n+1)/L(n)=(1+n)/n. Получаем:

X(n+1)=[X(n)+1]*[1+1/(n+1)]

n=0,1,2,3,..., X(0)=0.

Берем несколько первых n и вычисляем

X(1)=2=(1+1)*(1)

X(2)=4.5=(1+2)*(1+1/2)

X(3)=7+1/3=(1+3)(1+1/2+1/3)

и т.д.

...

...

Закон ясен.

X(n)=(n+1)*(1+1/2+1/3+...+1/n) см.

Наверняка легко доказывается по индукции.

Пусть S(n)=1+1/2+1/3+...+1/n -

сумма гармоническрго ряда. Для оценки S(n) существует простая формула (но получить ее совсем не просто):

S(n)~Г+Ln(n)

Г(гамма) ~ 0.577 - постоянная Эйлера.

Составляем уравнение

100000*(1+n)=(1+n)*S(n)

S(n)=100000;

Ln(n)~100000-Г~100000

n=t(сек)~Exp(100000)



Непрерывный случай.

Вычисляем координату жучка в момент t+dt:

V, v - скорости резинки и жучка

L(t)=L0+V*t, dL=V*dt

x+dx=(x+v*dt)*L(t+dt)/L(t)=

(x+v*dt)*(L+dL)/L=

(x+v*dt)*(1+V*dt/(L0+V*t)), откуда

dx/dt=v+x*V/(L0+V*t)

Делаем подстановку x=z*(1+V*t)

dx/dt=dz/dt*(1+V*t)+z*V*t;

dz=v*dt/(L0+V*t). Интегрируем

z=(v/V)*Ln((L0+V*t)/A).

При t=0, z=0, откуда A=L0

z=(v/V)*Ln(1+V*t/L0), окончательно

x=L0*(v/V)*(1+V*t/L0)*Ln(1+V*t/L0)

Составляем уравнение:

L0*(1+V*t/L0)=

L0*(v/V)*(1+V*t/L0)*Ln(1+V*t/L0)

t~(L0/V)*Exp(V/v)

L0/V=1c, V/v=100000

t~Exp(100000) с.



Как-то так, если нигде не ошибся...

ivana2000 2014-07-21 22:38:04 пишет:


Дискретный вариант.

Каждая следующая координата жучка X(n+1) по "нерастяжимой" оси получается из предидущей X(n) увеличением на 1см и умножением полученной суммы на коэффициент растяжения L(n+1)/L(n), где L(n) - длина резинки на n-ом шаге. Т.к.

L(n)=L0(n+1)*L0 км, где

L0=1км - начальная длина, то

L(n+1)/L(n)=(1+n)/n. Получаем:

X(n+1)=[X(n)+1]*[1+1/(n+1)]

n=0,1,2,3,..., X(0)=0.

Берем несколько первых n и вычисляем

X(1)=2=(1+1)*(1)

X(2)=4.5=(1+2)*(1+1/2)

X(3)=7+1/3=(1+3)(1+1/2+1/3)

и т.д.

...

...

Закон ясен.

X(n)=(n+1)*(1+1/2+1/3+...+1/n) см.

Дискретный вариант.

Каждая следующая координата жучка X(n+1) по "нерастяжимой" оси получается из предидущей X(n) увеличением на 1см и умножением полученной суммы на коэффициент растяжения L(n+1)/L(n), где L(n) - длина резинки на n-ом шаге. Т.к.

L(n)=L0(n+1)*L0 км, где

L0=1км - начальная длина, то

L(n+1)/L(n)=(1+n)/n. Получаем:

X(n+1)=[X(n)+1]*[1+1/(n+1)]

n=0,1,2,3,..., X(0)=0.

Берем несколько первых n и вычисляем

X(1)=2=(1+1)*(1)

X(2)=4.5=(1+2)*(1+1/2)

X(3)=7+1/3=(1+3)(1+1/2+1/3)

и т.д.

...

...

Закон ясен.

X(n)=(n+1)*(1+1/2+1/3+...+1/n) см.

Наверняка легко доказывается по индукции.

Пусть S(n)=1+1/2+1/3+...+1/n -

сумма гармоническрго ряда. Для оценки S(n) существует простая формула (но получить ее совсем не просто):

S(n)~Г+Ln(n)

Г(гамма) ~ 0.577 - постоянная Эйлера.

Составляем уравнение

100000*(1+n)=(1+n)*S(n)

S(n)=100000;

Ln(n)~100000-Г~100000

n=t(сек)~Exp(100000)



Непрерывный случай.

Вычисляем координату жучка в момент t+dt:

V, v - скорости резинки и жучка

L(t)=L0+V*t, dL=V*dt

x+dx=(x+v*dt)*L(t+dt)/L(t)=

(x+v*dt)*(L+dL)/L=

(x+v*dt)*(1+V*dt/(L0+V*t)), откуда

dx/dt=v+x*V/(L0+V*t)

Делаем подстановку x=z*(1+V*t)

dx/dt=dz/dt*(1+V*t)+z*V*t;

dz=v*dt/(L0+V*t). Интегрируем

z=(v/V)*Ln((L0+V*t)/A).

При t=0, z=0, откуда A=L0

z=(v/V)*Ln(1+V*t/L0), окончательно

x=L0*(v/V)*(1+V*t/L0)*Ln(1+V*t/L0)

Составляем уравнение:

L0*(1+V*t/L0)=

L0*(v/V)*(1+V*t/L0)*Ln(1+V*t/L0)

t~(L0/V)*Exp(V/v)

L0/V=1c, V/v=100000

t~Exp(100000) с.



Как-то так, если нигде не ошибся...




K2 2014-07-18 10:52:29 пишет:
" А при каком эн частичная сумма перевалит наконец за 100000 считать, честно говоря, лень... :)))" -- аха, на этом же месте точно остановился :)) А вот именно до 1/n - пришлось додумываться почти полчаса (с перерывами)... (и вот так каждый раз - все всё уже знают - сам частенько через это же страдаю, на этот раз вот повезло, можно сказать)

Вася Пупкин 2014-07-17 22:48:09 пишет:
Виноват, нолик один я там посеял, опечатался. 1км -- 100 000 см, так что 10 000 заменить на 100 000. 50 000(половину) -- так и оставить, ясендень.

KoKos 2014-07-17 21:53:21 пишет:
Ну... 8))) Натуральный логарифм гугола составит всего-то 230 с копеечкой, а нам надо еще на три порядка больше... Так что если с точки зрения именно бытовой физики - то таки не добежит. Попросту не успеет - вселенная к тому времени умрет тепловой смертью. Ж8)))

KoKos 2014-07-17 21:42:44 пишет:
:) Было уже, доползет. Ряд 1/n - расходящийся. А при каком эн частичная сумма перевалит наконец за 100000 считать, честно говоря, лень... :))) Сейчас, если быстро найду оценку, то скажу. :)

Евгений Р. 2014-07-17 21:34:47 пишет:
У *меня* постоянна скорость - 100000 см/с ,

а у *жучка* постоянно ускорение:) - 1 см/с^2

- и, зная ускорение, находим время :

t = (V - v) / a , то бишь 99999 секунд :)

...Неужели Сложность завышена? :)

Вася Пупкин 2014-07-17 20:53:21 пишет:
К2, спасибо за напоминалку, это очень прекрасная плюшка -- жалко, я ее уже решал когда-то. Правда, там про время не было -- (тут я пропущу первую часть решения... хотя ответы так и так скрываются -- короче, как скажете, хотите -- напишу и его) -- так вот, таки доползет, а время, пожалуй(это следует из решения) -- exp(10000) секунд, то бишь, примерно 10^50000. Если учесть, что возраст Вселенной -- примерно 10^17 секунд, то, конечно, ползти ему, не переползти, ну, и Вам -- доооолгих и счастливых лет с резинкой в руке... Ну, а математически -- доползет, конечно.

Добавьте комментарий:
Автор:

Комментарий:

Пожалуйста, введите символы с картинки:
(подтверждение не требуется для зарегистрированных пользователей)



 





Обсуждаем

  Задача Задача для связиста:
KoKos : [скрыто]
Задача Может ли такое быть?:
не представился : [скрыто]
не представился : [скрыто]
ivana2000 : [скрыто]
Задача Задача для связиста:
не представился : [скрыто]
Задача Может ли такое быть?:
не представился : [решил задачу]
Задача 100 мальчиков на 100 комнат:
МИСТЕР ТУПОЙ : [скрыто]
Задача Может ли такое быть?:
не представился : [скрыто]
ivana2000: Да.
не представился : [скрыто]
ivana2000: Верхняя фигура является объектом, нижняя – его образом (отражением) в зеркале.
Задача Интересно:
Вероника : [скрыто]
Задача Взлёт или посадка?:
KoKos : [скрыто]
Задача Что изображено 2?:
Иван : [скрыто]
ivana2000: Да, но есть еще кое-что.
Задача Взлёт или посадка?:
KoKos : [скрыто]
Админ: :) Может, сразу в ракетную шахту паркуется?
Задача Музыкальная система:
Альбина : [скрыто]
ivana2000: А какие-нибудь краткие пояснения?
Альбина : [скрыто]
ivana2000: Точно.



Реклама



© 2009-201x Логические задачи