"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов. Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное. Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.

Задачи на логику и сообразительность




О сайте
Гостевая книга
ЧаВо

Пользователи
RSS

Поиск на сайте





запомнить меня
Зарегистрироваться


Задачи



Данетки


Текущие:

  «Геометрическая»
  Высказывание Ломоносова
  Наверное, не про яблоки
  Комерция
  Везде градусы
  Вагончик тронется, вагончик тронется..
  Спасибо медикам и католикам))
  Специальная купюра
  Студенческая смекалка
  Эллипс vs Круг
  Современные технологии. Немецкий стандарт.
  Спортивная
  философская
  Про газету
  печатная монета
  Купюра евро
  Древние изобретения
  Биометрические паспорта
  Новый глава
  В далеком созвездии тау Кита... 8)))
  Огородное
  Средневековое строительство
  Жестокое наказание
  Их нравы - 4
  Европейский стандарт

Разгаданные недавно:

  этот модный тандыр
  Из Что-Где-Когда
  Может ли такое быть?
  Что изображено?
  Да на тебе пахать надо!


Справочная



Признаки делимости
Площади фигур


Реклама






задача: Квадрат делится на 11

Задачу прислал: djd usb


Сложность: сложныеКвадрат натурального числа состоит из нескольких единиц и одной двойки. Доказать, что он делится на 11



Ответ





Решение задачи





Ваши ответы на задачу


ответов: 18

djd usb 2013-11-25 12:18:00 пишет:
Как вы получили оценку 10^k>=....?

ivana2000 2013-11-25 10:29:14 пишет:
Пусть A >= 10^n и A меньше 10^(n+1) и содержит z=n+1 цифр. Тогда,

A^2 >= 10^(2n) и A^2 меньше 10^(2n+2)
или

A^2 >= 10^(2z-2) и A^2 меньше 10^(2z)


Если k-число цифр в A^2, то

A^2=11...11+10=(10^k-1)/9+10.

Получаем, что с одной стороны

10^k >= (9-89/10^(2z-1))*10^(2z-1)
,
а с другой, что

10^k меньше (90-89/10^(2z-1))*10^(2z-1)

Т.к. k число целое, то при z больше 1

k >= 2z-1 и k меньше 2z-1. Т.е.
k=2z-1 и A^2 содержит нечетное число цифр.
Ну.., как-то так.

KoKos 2013-11-24 14:40:19 пишет:
"Монстр первого порядка" нам точно не подходит - ибо он сам очевидно делится на те же 11, а вот то, что получается в результате - уже нет. Поскольку полный квадрат не может содержать простой множитель нечетной степени, то первый шажок к победе :)) у нас в кармане. Остается придумать, что делать с монстрами высших порядков... 8)))

KoKos 2013-11-24 13:14:42 пишет:
:)) K2, знаки писаны вручную, по одному, а Эксель уговорился 8)) только проверить правильность - умножением в столбик. XD

K2 2013-11-24 12:36:52 пишет:
А как уговорили ехель показать СТОЛЬКО знаков? Мне он гораздо раньше говорит "Е" %)

KoKos 2013-11-23 22:11:53 пишет:
:) Ну зачем же? Конечно, гвозди можно забивать и микроскопом, и можно их вталкивать вручную... 8))) Но если под рукой есть молоток - то почему бы им не воспользоваться? 8)

KoKos 2013-11-23 18:01:32 пишет:
Ну говорю же - пролопухал. :))) Посыпаю голову пеплом. 8)


Но число выходит довольно любопытное. (как показывает Эксель :) 9182736455463728191000 - прямо почти палиндром какой-то... 8))) Если эти 22 цифры "пачкой" *повторить в записи* любое целое число раз, и в конце *прибавить* (а не дописать :) единицу - то полученный в итоге "монстр" 8))) при умножении на 121 даст нам подходящее число из единственной двойки и немерянного стада единичек... XD XD XD Если кому интересно, эксельником могу поделиться.


Остается вопрос - может ли один из монстров (естественно, повторенный больше нуля раз ;))) оказаться полным квадратом? Надо еще чуток подумать... :)))
   djd usb: Давайте все же решать без компьютеров)))

djd usb 2013-11-23 17:00:36 пишет:
1001*121=121121. В 4 разряде 1-ца

KoKos 2013-11-23 16:49:34 пишет:
:))) Тьфу, опять пролопухал, сорри. Надо таки на бумажке писать, но лень ведь... XD XD XD Там просто зю и останется - остальные нули. Итого зю у нас обязано равняться 1, минутку, - похоже, что последовательность разрядов выходит однозначно заданной, щас гляну, что из этого вылезет. 8)))

KoKos 2013-11-23 16:08:59 пишет:
:) djd usb, я прав в том, что Y=1 ;))) - есть еще одна маленькая деталь, 8))) которую я пропустил, потому что меня уже ждало такси, а Вы упустили. У нас есть еще и X^2. ;))) Который, в заданных условиях может оканчиваться *только* на ...001 - два нуля из сотни в числителе, один ноль из (Y-1), и единичку обратно из самого равенства. Такие квадраты, несомненно, существуют, НО! будучи домножен обратно на 121 он нам должен дать *наш* исходный квадрат, не так ли? ;)) Рассмотрим четвертый разряд X^2 - пусть будет цифра "зю". И домножим, как и полагается. Тогда четвертый разряд *нашего* квадрата будет равен 1*зю+2*зю+1*зю+зю*1 = 5*зю. Покажите мне зю, такое, что при умножении на 5 даст 1 в младшем разряде - и я поверю в Ваш контрпример. ;)))

ivana2000 2013-11-23 09:27:09 пишет:
Идея такая: если число M имеет n знаков, то M^2 будет иметь либо 2n, либо 2n-1 знаков. Если первая цифра M^2 равна 1 или 2, то в M^2 будет (наверное?) 2n-1 знаков. Видимо (?), M^2 заканчивается на 21, т.е. двойка стоит на четном месте (от конца). Сумма цифр (единиц), стоящих на нечетных местах, равна n, сумма цифр, стоящих на четных местах (единиц и двойки), равна (n-2)+2=n. Отсюда, по признаку деления, M^2 делится на 11.
   djd usb: То что М^2 имеет 2n-1 знак это еще не известно. Ну вот к примеру 40^2=1600( это просто пример числа квадрат которого на 1 начинаетмя) т.е в принцепе знаков может быть и 2n. И в этом случае число на 11 очевидно не делится на 11, но тогда уже надо будет доказать, что квадратлм он не может быть))

K2 2013-11-23 01:11:27 пишет:
Никого пока не понял ;) Но продолжая свои "выкладки" (плюс подсказки про признаки делимости) - остановился на том что количество единичек Перед 121 - у нас должно быть чётным - для того что бы доказалось то что просили. Дальше я как-то пытался доползти к этому "с другой стороны", т.е. через первые цифры возводимого в квадрат числа - но пока не срослось... Не все варианты просмотрел ещё - бумажка закончилась :)

KoKos 2013-11-22 23:43:28 пишет:
;)) Да элементарно докажу. Смотрите:


Как уже показано ниже, наш квадрат может оканчиваться *только* на 21. При этом, если он (квадрат! ;) делится на 11, то он делится и на 11^2=121 - ибо 11 простое. Допустим, что существует некое натуральное X, такое, что (X*11)^2 равно нашему квадрату. Так и запишем: (X*11)^2=100*Y+21 . При этом натуральный Y состоит из одних только единичек, в конечном(!) количестве. Преобразовываем: X^2*121=100*Y-100+121 => (X^2-1)*121=100*(Y-1) => (X^2-1)=100/121*(Y-1). 100/121 или (10/11)^2 - это у нас бесконечная несократимая дробь и единственный способ поправить дело - это заставить (Y-1) делиться на 121. Но вот беда - Y то у нас состоит из одних единичек, помните? ;) Так что каменный цветочек не выйдет... 8))) Точнее, выйдет в единственном случае: Y=1 . ;)
   djd usb: Ну смотрите. Пусть Y-1=11...110( 22 единицы) тогда Y-1/11=1010101...101010(11 единиц, и все на нечетных местах) ну значит оно еще на 11 делится. Тогда вы не правы в том что Y=1

KoKos 2013-11-22 18:13:27 пишет:
А в чем проблема? Это всего лишь заход с другой стороны. ;)) Если 121 является единственным подходящим квадратом, то его делимость на 11 очевидна и в дальнейшем доказательстве не нуждается. ;))) А поскольку я вполне уверен, что он единственен, то вот и все. ;) Если хотите, попозже докажу единственность строго.
   djd usb: Мне очень интересно, как вы это докажете...

KoKos 2013-11-22 17:08:53 пишет:
8) Хм? djd usb, Вы хотите сказать, что кроме 121 существуют другие полные квадраты, удовлетворяющие условию? 8)))


Давайте глянем навскидку... Младший разряд полного квадрата не может быть двойкой. Значит, в младшем разряде числа стоит либо 1 либо 9. Тогда 2 у нас с гарантией во втором разряде квадрата, ибо при любой цифре Х (в исходном числе) второй разряд квадрата формируется как 1*Х+Х*1 либо 9*Х+8+Х*9 - то бишь, в любом случае четный. Можно, конечно, перебрать все комбинации 1,9 и Х - чтобы 100% убедиться, что более двух единиц никак не получится, но это уже не сейчас. :))
   djd usb: Я здесь не вижу доказательства того, что число делится на 11.
ПС единственное ли 121 или нет --это уже совсем другой и более сложный вопрос.

K2 2013-11-22 15:51:17 пишет:
Ну что же... Судя по всему кроме одиннадцати есть ещё три таких числа, оканчиваться они будут на ...93239, ...06761 и ...24489 дальше упёрлось в разрядность ехеля а расчехлять РВСН как-то лениво, да и не "тот" это метод явно.
Так что на этой оптимистической ноте - пойду-ка я спать :)

K2 2013-11-22 15:25:56 пишет:
Может хотя бы "кол"? А может покрасить чего-нибудь надо?,... Про сложность не ко мне вопрос - это вверху стоит маленький красненький человечек - это к нему.
а что, это Может быть и какое-то Другое число? Так-то я до конца не допроверял, некогда было, но сейчас могу заняться.
ПС: а для баллов и прочих "оценок" - я уже слишком старый... видимо. Точнее "наверное".
   Админ: пожалуй, подниму сложность :)) Изначально показалось, что достаточно опереться на признак делимости на 11, но всё не так просто оказалось.

K2 2013-11-22 13:54:33 пишет:
раз сложность "детская" то точно - потому что это число 11. из начала решения - заканчиваться оно может только на 1 или 9, потому что квадрат на 1 потому что на 2 не бывает, а дальше - много выкладок надо, но похожее было уже, смотрим на квадрат как на сумму единиц и больше единиц в квадрате и всё достаточно быстро срастается
   djd usb: За такое решение поставил бы 0 баллов. Вы условия не поняли наверное.
Пс и почему уровень задачи написали легких, хотя он не очень-то и простой

Добавьте комментарий:
Автор:

Комментарий:

Пожалуйста, введите символы с картинки:
(подтверждение не требуется для зарегистрированных пользователей)



 





Обсуждаем

  Задача Азартный баскетбол:
KoKos : [скрыто]
ivana2000 : [скрыто]
KoKos : [скрыто]
KoKos : [скрыто]
K2 : [скрыто]
K2 : [скрыто]
KoKos : [скрыто]
Задача ППП, ППК, ПКК, ПП:
Рико : [скрыто]
Задача Азартный баскетбол:
ivana2000 : [скрыто]
Задача Задача с собеседования в Adobe:
М : [скрыто]
Задача 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 = 2010:
не представился : [решил задачу]
не представился : [решил задачу]
ivana2000 : [решил задачу]
Админ: ну вот!
не представился : [скрыто]
Задача Таблички с цифрами:
не представился : [скрыто]
Админ: почти так, в 99 - две цифры 9 :)



Реклама



© 2009-201x Логические задачи