"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов. Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное. Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.

Задачи на логику и сообразительность




О сайте
Гостевая книга
ЧаВо

Пользователи
RSS

Поиск на сайте





запомнить меня
Зарегистрироваться


Задачи



Данетки


Текущие:

  «Геометрическая»
  Высказывание Ломоносова
  Наверное, не про яблоки
  Комерция
  Везде градусы
  Вагончик тронется, вагончик тронется..
  Спасибо медикам и католикам))
  Специальная купюра
  Студенческая смекалка
  Эллипс vs Круг
  Современные технологии. Немецкий стандарт.
  Спортивная
  философская
  Про газету
  печатная монета
  Купюра евро
  Древние изобретения
  Биометрические паспорта
  Новый глава
  В далеком созвездии тау Кита... 8)))
  Огородное
  Средневековое строительство
  Жестокое наказание
  Их нравы - 4
  Европейский стандарт

Разгаданные недавно:

  этот модный тандыр
  Из Что-Где-Когда
  Может ли такое быть?
  Что изображено?
  Да на тебе пахать надо!


Справочная



Признаки делимости
Площади фигур


Реклама






задача: Корни многочлена

Задачу прислал: Админ


Сложность: средняяЕсли у многочлена f(x) с целыми коэффициентами значения f(0) и f(1) нечетны, могут ли у него быть целые корни?



Ответ





Решение задачи





Ваши ответы на задачу


ответов: 8

KoKos 2013-02-15 04:27:51 пишет:
:) Добавка - так, на всякий случай... В терминах многочленов :))) имеем полное право доопределить 0^0 до =1 . Там у нас точка устранимого разрыва и никаких сингулярностей. 8))) Зато не приходится тогда свободный член выносить на отдельное рассмотрение. ;))) Ибо лень. XD
   Админ:

KoKos 2013-02-15 03:14:36 пишет:
:) Хм. Ну, что ж - тогда и ответ "с точностью до наоборот" (с) - не могут. :))) \n\n
Насколько я помню, "многочленом" у нас называется разношерстое сборище :))) целых неотрицательных степеней с некоторыми коэффициентами, а судя по условию, - всего одной переменной. В дальнейшем под "любыми" будем подразумевать лишь подходящие под определение, то бишь целые неотрицательные, степени. Распишем для наглядности наш произвольный Эн-той степени многочлен: f(x) = a0*x^0+a1*x^1+...+aN*x^N . Из того что, оба f(0) и f(1) - нечетны, следует, что f(1)-f(0) - четно. То бишь, общая сумма а1+...+aN - четна (а а0 успешно сократились ;). Вне зависимости от общего количества N и четности каждого отдельного взятого aI . Рассмотрим теперь f(x+1)-f(x) = а1*((x+1)^1-x^1)+...+aN*((x+1)^N-x^N) = b1+...+bN - через bI переобозначим для простоты каждое aI*((x+1)^I-x^I) . Фокус в том, что ((x+1)^I-x^I) всегда нечетно для любых (не забываем ;) степеней I - кроме лишь того самого нуля, который у нас так "удачно" ;))) постоянно сокращается. Показать это легко - любой чет всегда содержит двойку простым делителем, а любой нечет, наоборот, никогда ее не содержит, - соседние целые всегда чет и нечет, в любой степени опять дают всегда чет и нечет, разница всегда нечет. Таким образом, bI = aI*нечет, а значит четность самого bI полностью идентична четности aI . Значит, для любой пары целых соседей x+1 и x, значения многочлена f(x+1) и f(x) имеют одинаковую четность, за счет поголовной четности их разницы. Но ведь f(1) или f(0), кому какое больше нравится 8))) - нечетны. По индукции, для любого целого x, f(x) - нечетно, а значит неспособно быть четным нулем. То бишь, целых корней наш многочлен иметь не может.
   Админ:

Вася Пупкин 2013-01-31 21:33:06 пишет:
(на всякий случай, потому что Админ может развернуть потребовать) Если нечет для нуля, то свободный член нечетный. Значит, любой четный икс даст нечет. А рза для единицы тоже нечет, и свободный член нечетный -- то сумма остальных коэфов четна, то бишь, в ней четное количество нечетных слагаемых. А раз так, ненулевые степени нечетного икса тоже дадут ноль по мод 2(с четными коэфами автоматом, а нечетные коэфы, если есть, то вклады соотв. степеней попарно друг друга нейтрализуют), и опять, из-за нечетного свбодного члена итог будет нечетным, вот и покрыли все целые.
   Админ: верно

Вася Пупкин 2013-01-31 21:15:26 пишет:
igv105, но тогда-то совсем все просто доказывается. Если от нуля нечетно, то нечетно и для любого четного икса(док-во -- раскатать все по модулю 2). Если для 1 нечетно -- то и для любого нечетного икса(оттуда же). Ну, и значит, ни для какого целого не занулится.

igv105 2013-01-31 12:24:35 пишет:
предполагаю, что должно быть так: "Если у многочлена f(x) с целыми коэффициентами значения f(0) и f(1) нечетны, могут ли у него быть целые корни?"
   Админ: Да, именно так. Опечатался в условии.

Вася Пупкин 2013-01-31 05:45:50 пишет:
Виноват, Админ, я там опечатнулся, где про ожидается ответ -- вместо "могут" читать, конечно же, "не могут". В смысле, по Вашему условию легко могут, но явно что-то порюхано в условии.

KoKos 2013-01-31 04:52:20 пишет:
8))) Хм?!? Ну, конечно же, могут. Ноль - четный. ;))) То бишь, f(0) = f(1) = 0 => ноль и единица - целые корни. Проверка: f(x)=x^2-x - подходящий многочлен. ;)

Вася Пупкин 2013-01-31 02:07:20 пишет:
Админ, судя по вопросу -- явно ожидается ответ "могут". С другой стороны, какой-нибудь там (х-3)(х-2) удовлетворяет всем требованиям. Что-то напутано, видать, с условием -- перечекайте, плз.
   Админ: исправил условие, извините

Добавьте комментарий:
Автор:

Комментарий:

Пожалуйста, введите символы с картинки:
(подтверждение не требуется для зарегистрированных пользователей)



 





Обсуждаем

  Задача Азартный баскетбол:
K2 : [скрыто]
K2 : [скрыто]
KoKos : [скрыто]
Задача ППП, ППК, ПКК, ПП:
Рико : [скрыто]
Задача Азартный баскетбол:
ivana2000 : [скрыто]
Задача Задача с собеседования в Adobe:
М : [скрыто]
Задача 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 = 2010:
не представился : [решил задачу]
не представился : [решил задачу]
ivana2000 : [решил задачу]
Админ: ну вот!
не представился : [скрыто]
Задача Таблички с цифрами:
не представился : [скрыто]
Админ: почти так, в 99 - две цифры 9 :)
Задача дикари и сто мудрецов:
ИРА : [скрыто]
ИРА : [скрыто]
Задача ППП, ППК, ПКК, ПП:
KoKos : [скрыто]
Админ: нет, никаких стихов, поговорок и т.п. Но задача сложная, на мой взгляд.
Задача Ветреный день:
Гость : [скрыто]



Реклама



© 2009-201x Логические задачи