"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов. Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное. Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.

Задачи на логику и сообразительность




О сайте
Гостевая книга
ЧаВо

Пользователи
RSS

Поиск на сайте





запомнить меня
Зарегистрироваться


Задачи



Данетки


Текущие:

  «Геометрическая»
  Высказывание Ломоносова
  Наверное, не про яблоки
  Комерция
  Везде градусы
  Вагончик тронется, вагончик тронется..
  Спасибо медикам и католикам))
  Специальная купюра
  Студенческая смекалка
  Эллипс vs Круг
  Современные технологии. Немецкий стандарт.
  Спортивная
  философская
  Про газету
  печатная монета
  Купюра евро
  Древние изобретения
  Биометрические паспорта
  Новый глава
  В далеком созвездии тау Кита... 8)))
  Огородное
  Средневековое строительство
  Жестокое наказание
  Их нравы - 4
  Европейский стандарт

Разгаданные недавно:

  этот модный тандыр
  Из Что-Где-Когда
  Может ли такое быть?
  Что изображено?
  Да на тебе пахать надо!


Справочная



Признаки делимости
Площади фигур


Реклама






задача: Квадрат N-значного числа

Задачу прислал: Админ


Сложность: сложныеДокажите, что для каждого числа N существует N-значное число, совпадающее с последними цифрами своего квадрата. Или опровергните это утверждение.



Ответ





Решение задачи





Ваши ответы на задачу


ответов: 14

Вася Пупкин 2013-04-02 23:17:29 пишет:
О, вот тут, оказывается -- много страшно интересных и красивых плюшек про такие числа:\n\n
http://written.ru/articles/science/automorph

Вася Пупкин 2013-04-01 23:12:45 пишет:
Вот, Вики говорит -- оказывается, эти самые коэфициенты при плюшках для НОД по-научному называются коэффициентами Безу, того самого, которого мы в школе когда-то.\n\n
http://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zout%27s_identity

Вася Пупкин 2013-04-01 20:42:53 пишет:
Ухты, какая плюшка, а я както пропустил. Ну, распишем разницу квадрата с числом. Число вынесем за скобки, получим, что Кы на Кы минус 1 кратно 10^N. Заметим, что Кы и Кы минус один взаимно просты, то бишь, в одном сидят все 2^N, а в другом все 5^N. Итак, наша задача найти такую линейную комбинацию одинаковых степеней пятерки и двойки, которая давала бы единицу. Это дело явно выполнимое, поскольку степени пятерки и двойки взаимно просты. Из взаимной простоты следует, что их НОД(наибольший общий делитель) есть единица. Но НОД можно выписать, например, по алгоритму Евклида ,и убедиться, что он в итоге и будет некоторой ЛК наших Пы1 и Пы2. Ну вот, мы доказали, что для любого эна мы сможем скомбинировать энтые степени двойки и пятерки так, что разница между ними будет единицей, а значит, их произведение и даст нам ту самую разность Кы и Кы квадрата, кратную десятке в энной. \n\n Не хватает одной маленькой детальки: показать, что наши коэфы при степенях пятерки и двойки не будут слишком велики, то бишь, не вынесут наши плюшки в следующий разряд. Ну там, коэф при пятерке в энной будет меньше двух в энной, и наоборот. Это кажется очевидным, и, видимо, совсем просто показать, например, рассмотрев группу остатков чисел вида Кы на 5 в эннной по модулю 2 в энной: она циклическая, в нуле ноль, в двух в энной тоже, сталть, успеет пробежать все значения, в т.ч и единицу, до того. Кстати, кажется, вот это самое рассмотрение групповых свойств вполне себе вообще заменит все сказанное выше об алгоритме Евклида, ну да пусть его будет.
   Админ: вроде так :)

lelyafine 2013-03-30 20:11:42 пишет:
спасибо за подсказку, я нашла для 2-х-значн и 3-х-значн., но отчего и почему = не пойму! Неделя пошла..=))

lelyafine 2013-03-29 19:42:59 пишет:
тогда вообще не понятно какие числа с какими цифрами сравнивать. ;=)) решить не могу, опровергнуть тоже. Тупик-с!
   Админ: вот для пятизначных пример в решениях: 90625* 90625= 8212890625. Надо доказать, что нечто подобное найдется для чисел любой "значности"

lelyafine 2013-03-29 00:28:34 пишет:
N в квадрате всегда меньше любого N-значного числа, поэтому ни он сам-квадрат, ни его последние цифры не могут совпадать с N-значным числом. Я дальше 2-х-значных чисел не рискнула сходить..;-))
   Админ: N не надо в квадрат возводить. Надо возводить в квадрат все N-значные числа :))

KoKos 2013-01-20 18:17:20 пишет:
Угу :)

не представился 2013-01-20 13:33:52 пишет:
А, теперь понятно! 90625* 90625= 8212890625-верно, потом добавляем 8!

KoKos 2013-01-20 12:47:14 пишет:
не представился, Вы не так поняли алгоритм. Никто не собирается туда лидирующих нулей добавлять от фонаря до бесконечности. :)) Это можно делать только для 0 и 1. В данном же случае у нас просто нет выхода, ибо для N=4 кроме 0625 там просто ничего другого не может быть - при каждом N все цифры числа строго определены единственным образом. А для N=5, естественно, надо не просто добавлять следующий ноль, а добавлять следующую цифру, которая там должна быть - то бишь, 9. 90625 а не 00625.

не представился 2013-01-19 22:03:56 пишет:
Допустим, для N=4 совпадает. 0625*0625= 390625. Но уже для N=5, 00625 - не совпадает. 00625*00625= все то же 390625. По условию- если мы взяли пятизначное число, то должны совпадать все пять знаков.

KoKos 2013-01-19 15:44:56 пишет:
8))) Вот черт, опять пролопухал - с суммой. Остановимся на том, что С однозначно задается предидущим числом единственным образом.
   Админ:

KoKos 2013-01-19 15:37:33 пишет:
А, даже строгое доказательство нарисовалось... :) Не такое уж оно и страшное, как показалось на первый взгляд. Допустим, мы нашли такое число для N-1 разряда и оно единственно (что верно уже для двойки, как показано ранее). Тогда для N разрядов очевидно, что все разряды, от N-1 до 1 обязаны быть именно этим числом - ибо добавление N разряда на их значения в результирующем квадрате никак не влияет. Соответственно, пусть новый N разряд у нас будет х. получаем уравнение вида 10*х + С = х , то бишь х строго равно С и только С. А само С - это второй разряд суммы попарных произведений разрядов нашего предыдущего числа: [1]*[N-1]+[2]*[N-2]+...+[N-2]*[2]+[N-1]*[1] - который также может иметь лишь единственное значение, ибо предыдущее число единственно по допущению.

KoKos 2013-01-19 14:42:04 пишет:
Ну и с обобщением плуганул, как обычно... 8( 5^(2^M) должно иметь разрядность строго больше N иначе упремся при N=6 - там нам нужна будет не тройка, а восьмерка, так что М надо брать с запасом.

KoKos 2013-01-19 14:32:55 пишет:
Таким любопытным свойством обладают степени пятерки, но с двумя оговорками... Во-первых, я не придумал еще, как это доказать строго (и вряд ли придумаю в скором времени - четвертый день валяюсь дома с температурой, глазки с трудом сходятся в точку... 8))). А во-вторых, зависит от того, как Вы отнесетесь к лидирующим нулям. ;))) Сечас покажу: \n\n
Для N=1 вариантов море - 0,1,5,6. :) Уже для N=2 0 и 1 выпадают(?) ибо обое потребуют нуля во втором разряде (0*х=х) и (2*х=х) остаются 5 (10*х+2=х => х=2) и 6 тоже выпадает (12*х+3=х => х=-1 - а это нонсенс). Так что осталась одна лишь пятерка, притом возможные числа строго детерминированы. Однозначное = 5, двузначное = 25 (сюрприз: 5^2 ;), трехзначное = 625 (опять сюрприз: 25^2 или 5^4), а вот с четырехзначным выходит обломчик... :))) 5^8 = 390625, поэтому подходящим четырехзначным числом может быть только 0625 - тот самый лидирующий ноль. \n\n
Если лидирующие нули запрещены к рассмотрению ;))) - то выходит, что не для всех N можно подобрать такое N-значное число - ибо N=4 уже вылетело. \n\n
Если же лидирующие нули можно рассматривать, то тогда кроме "основного" варианта степеней пятерки к нам радостно возвращаются 000...0000 и 000...0001 отброшенные было в самом начале. \n\n
Что же касается основного варианта, то алгоритм прост. Для произвольно заданного N выбираем M, такое, что 5^(2^M) имело разрядность больше или равную N. Из него откусываем N последних цифр и они-то и дадут искомое число.
   Админ: да, лидирующие нули допускаются

Добавьте комментарий:
Автор:

Комментарий:

Пожалуйста, введите символы с картинки:
(подтверждение не требуется для зарегистрированных пользователей)



 





Обсуждаем

  Задача Что изображено 2?:
Иван : [скрыто]
ivana2000: Да, но есть еще кое-что.
Задача Взлёт или посадка?:
KoKos : [скрыто]
Админ: :) Может, сразу в ракетную шахту паркуется?
Задача Музыкальная система:
Альбина : [скрыто]
ivana2000: А какие-нибудь краткие пояснения?
Альбина : [скрыто]
ivana2000: Точно.
Задача Яблоки для Буратино:
rumax : [скрыто]
Админ: он мог и дальше оставаться должным
Задача Касательный шар:
ivana2000 : [скрыто]
KoKos : [скрыто]
Задача 2*2+2:2+2=18:
ivana2000 : [скрыто]
Задача Касательный шар:
ivana2000 : [скрыто]
ivana2000 : [скрыто]
ivana2000 : [скрыто]
ivana2000 : [скрыто]
Задача Почти равенство:
Виталий Доценко : [решил задачу]
Задача Одна спичка:
Виталий Доценко : [скрыто]
Задача 2*2+2:2+2=18:
Виталий Доценко : [скрыто]



Реклама



© 2009-201x Логические задачи