"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов. Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное. Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.

Задачи на логику и сообразительность




О сайте
Гостевая книга
ЧаВо

Пользователи
RSS

Поиск на сайте





запомнить меня
Зарегистрироваться


Задачи



Данетки


Текущие:

  «Геометрическая»
  Высказывание Ломоносова
  Наверное, не про яблоки
  Комерция
  Везде градусы
  Вагончик тронется, вагончик тронется..
  Спасибо медикам и католикам))
  Специальная купюра
  Студенческая смекалка
  Эллипс vs Круг
  Современные технологии. Немецкий стандарт.
  Спортивная
  философская
  Про газету
  печатная монета
  Купюра евро
  Древние изобретения
  Биометрические паспорта
  Новый глава
  В далеком созвездии тау Кита... 8)))
  Огородное
  Средневековое строительство
  Жестокое наказание
  Их нравы - 4
  Европейский стандарт

Разгаданные недавно:

  этот модный тандыр
  Из Что-Где-Когда
  Может ли такое быть?
  Что изображено?
  Да на тебе пахать надо!


Справочная



Признаки делимости
Площади фигур


Реклама






задача: Вырезанная фигура

Задачу прислал: Админ


Сложность: средняяИз бумажного треугольника вырезали параллелограмм. Докажите, что площадь вырезанного параллелограмма не превосходит половины площади исходного треугольника.



Ответ





Решение задачи





Ваши ответы на задачу


ответов: 14

Вася Пупкин 2012-08-21 20:26:20 пишет:
1)Рассмотрим параллелограмм, у которого две стороны лежат на боковых сторонах нашего треугольника, а не принадлежащая им вершина -- на основании. Такой стоящий на хвосте на основании, а рылом уткнувшийся в вершину. Посмотрим на два треугольника, отрезанные таким образом исходного. Они подобны исходному и друг другу. Пусть длина основания -- единица, а длина основания одного из малых треугольников Q. Площади всех наших трех треугольников есть квадраты их оснований с точностью до одинакового коэфа. Дропнем его нафиг по этому поводу, и разница большой и двух малых площадей превратится в 2Q - 2*Q^2. Эта плюшка максимизируется при Q=1/2, при которой и равна половине, и "нижние" боковые стороны нашего параллелограмма, сталбыть, есть средние линии треугольника.
2)Теперь рассмотрим параллелограмм, который "лежит" на основании, а две "верхние" его вершины -- на боковых сторонах треугольника. Проведем из верхней вершины треугольника на основание прямую, параллельную боковым сторонам параллелограмма. Наша картинка разделилась на две, разобранные в п.1. Экстремум у них совпадает => такой "лежащий" тоже не займет больше половины всей площади.
3)Последнее -- параллелограмм, у которого три вершины лежат на трех сторонах треугольника, а четвертая "болтается". Опять -- возьмем ту вершину треугольника, которая отсечена стороной параллелограмма, и из нее пустим прямую, параллельную соотв. "боковым" сторонам параллелограмма("боковыми" мы их объявим, поставив треугольник нашей вершиной вверх). Получаем две картинки, разобранные в п.2. Одна -- в точности оно, а у другой -- параллелограм лежит на основании, но не "дотягивается"
до одной из боковых сторон треугольника. Он может быть достроен до "дотягивающегося" -- очевидно, большей площади. То бишь, в этом случае исходный параллелограмм выкусил заведомо меньше половины.
4)Во всех остальных случаях параллелограмм может быть достроен с увеличением площади до одного из трех описанных случаев(ну, понятно, чаще всего до третьего). Без поворотов, ну их, они от лукавого.
   Админ:

KoKos 2012-08-21 01:58:31 пишет:
:) Тогда поехали... Выбираем произвольно ту сторону треугольника, на которой будут лежать две вершины нашего "касательного" параллелограмма - назовем ее основанием. Такая сторона всегда есть, ибо сторон у треугольника всего три, а вершин у параллелограмма целых четыре. :)) Опять-таки произвольно выбираем одну из двух оставшихся боковых сторон треугольника, и объявляем ее "несущей". Далее строим (еще не вырезаем :))) параллелограмм, одна из сторон которого является средней линией треугольника, параллельной основанию, а вторая - половиной "несущей" стороны, между основанием и средней линией. Назовем его базовым. Во-первых, любой другой "касательный" параллелограмм, построенный на той же средней линии, будет равновелик базовому (та же сторона и та же высота) - так что общности мы не нарушаем. И во-вторых площадь такого базового параллелограмма в точности равна половине площади треугольника (что доказывается настолько элементарно, что я поленюсь, в вашего позволения :))). Осталось доказать, что при любом (параллельном, естественно - ибо двух вершин "привязанных" к основанию никто не отменял ;) отклонении от средней линии базовый параллелограмм (а вместе с ним и все остальные "касательные") будут уменьшаться в площади. Или, что то же самое, что два оставшихся (за вычетом базового параллелограмма) треугольника будут увеличиваться в площади - в этом и заключается весь фокус. ;) Обозначим длину средней линии m а половину высоты треугольника - h. mh = площадь базового параллелограмма, она же сумма площадей оставшихся двух треугольников. dh обозначим изменение высоты базового параллелограмма при отклонении от средней линии (положительное - "вверх", к вершине и отрицательное - "вниз" к основанию). dm обозначим изменение стороны (параллельной основанию, - бывшей средней линии). Здесь сразу следует отметить, что dh и dm всегда противоположны друг дружке по знаку (угадайте, почему? ;))) - это важно. Суммарная площадь оставшихся треугольников составит: (h+dh)(m-dm)/2 [площадь нижнего] + (h-dh)(m+dm)/2 [площадь верхнего] = mh - dh*dm [после раскрытия скобок и сокращения]. Вот и все. ;) Произведение dh*dm всегда отрицательно (см. важное замечание). Минус на минус дает плюс, и соответственно, mh - dh*dm всегда больше mh . Что и требовалось доказать. :)
   Админ:

KoKos 2012-08-21 00:13:29 пишет:
Оки. :) Я тогда приму предложение Татьяны о рассмотрении только "касательных" параллелограммов, - у которых все четыре вершины лежат на сторонах треугольника. Для упрощения себе жизни. :))) В принципе, можно доказать, что любой "внутренний" параллелограмм (у которого хотя бы одна вершина НЕ лежит на стороне треугольника) всегда будет иметь меньшую площадь, чем соответствующим образом построенный "касательный" параллелограмм. Но там без *нормальных* чертежей, а не сляпанных на глазок в пэйнте, уже будет не обойтись. :( Так что предлагаю принять как данность. :) Ну, или еще чуток поправить условие. :))) Идет? :)
   Админ: вообще, конечно, надо общий случай рассматривать, но от него элементарно перейти к рассматриваемому

Карпова Татьяна Алексеевна 2012-08-20 17:26:16 пишет:
Я бы сформулировала эту задачу так: докажите что из треугольника невозможно вырезать параллелограмм, площадь которого превосходит половину площади данного треугольника.

KoKos 2012-08-20 17:04:18 пишет:
Админ, так все таки - площадь *чего именно* в итоге мы должны оценить и доказать? :) Таки новой фигуры - которая есть остатки треугольника после вырезания из него параллелограмма? Или таки самиого параллелограмма? Это две большие разницы. :)
   Админ: Ну да, ну да. Исправил формулировку в условии.

Карпова Татьяна Алексеевна 2012-08-20 13:09:47 пишет:
напротив надо вырезать параллелограмм , имеющий наибольшую площадь и доказать, что эта площадь не превосходит половины площади исходного треугольника.
   Админ: именно так, иначе задача не имеет решения, как верно заметил КоКос

KoKos 2012-08-20 13:04:07 пишет:
Татьяна, вряд ли. Ведь можно отрезать очень тонкую прямоугольную полоску вдоль одной стороны - все равно фигня получается... Я ж и говорю - что-то не так в условии. Давайте подождем Админа. :)

Карпова Татьяна Алексеевна 2012-08-20 12:57:59 пишет:
KoKos,очевидо надо рассмотреть параллелограмм все вершины которого лежат на сторонах треугольника.

KoKos 2012-08-20 10:55:33 пишет:
Бррр??? 8) То есть Вы хотите сказать, что вот это вот зеленое не превосходит вот того вот красного??? 80 А мы это еще и доказать должны? XD


KoKos 2012-08-19 15:47:51 пишет:
Хм? Админ, чего-то нехватает в условии. :) Берем треугольник метр-на-метр-на-метр и вырезаем из него квадратик см-на-см-на-см-на-см? 8))) Неужели с таким вырезом площадь треугольника уменьшится вдвое??? 8)))
   Админ: так ведь "не превосходит" же

Гость 2012-08-13 20:26:56 пишет:
Рзазаде Жаля эээй это плагиат!!!

Рзазаде Жаля 2012-08-13 17:39:59 пишет:
проще было бы показать то что нарисовал и все..) ну ладно пойдем с конца, имеем параллелограмм со сторонами A и B, он состоит по сути из 2 треугольников, так вот если мы к одному из этих треугольников подставим подобные с внешних сторон(стороной А к стороне А а В к В) то получим один большой треугольник тот самый бумажный треугольник. Вот как-то так.. пойдет?
   Админ: пусть так

Гость 2012-08-13 12:49:36 пишет:
проще было бы показать то что нарисовал и все..) ну ладно пойдем с конца, имеем параллелограмм со сторонами A и B, он состоит по сути из 2 треугольников, так вот если мы к одному из этих треугольников подставим подобные с внешних сторон(стороной А к стороне А а В к В) то получим один большой треугольник тот самый бумажный треугольник. Вот как-то так.. пойдет?
   Админ: Ну... если бы сам не знал решение, то не понял бы к чему вы ведете :) Ладно, зачтем :)

Гость 2012-08-13 11:17:45 пишет:
Пусть изначально треугольник равносторонний(т.к. какой он нам не сказано). Этот треугольник можно мысленно или карандашом разделить на 4 треугольника(это легко показать: с центра каждой грани провести линии в центр остальных граней) таким образом максимальный параллелограмм который мы можем вырезать будет состоять из 2 соприкасающихся треугольников и его площадь не будет превосходить половины начального треугольника, более того максимальная площадь параллелограмма в данном случае равна половине площади треугольника(т.к. на параллелограмм уходит 2 из 4 треугольников). Объясняю я плохо надеюсь что будет понятно..
   Админ: будем считать, для равностороннего треугольника вы доказали. Переходите к общему случаю.

Добавьте комментарий:
Автор:

Комментарий:

Пожалуйста, введите символы с картинки:
(подтверждение не требуется для зарегистрированных пользователей)



 





Обсуждаем

  Задача Переливание молока:
Влад : [скрыто]
Влад : [скрыто]
катя : [скрыто]
Задача Скользящий мешок:
KoKos : [скрыто]
jonson-72 : [скрыто]
jonson-72 : [скрыто]
ivana2000 : [скрыто]
Задача 100 монет:
Дарья : [скрыто]
Задача «Прыг-скок»:
jonson-72 : [скрыто]
jonson-72 : [скрыто]
jonson-72: РЕШЕНИЕ
Задача Скользящий мешок:
jonson-72 : [скрыто]
jonson-72 : [скрыто]
Задача Продолжить ряд чисел:
Артур : [скрыто]
Задача «Прыг-скок»:
ivana2000 : [скрыто]
Задача Скользящий мешок:
KoKos : [скрыто]



Реклама



© 2009-201x Логические задачи