Логические задачи : Вырезанная фигура

	"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов. Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное. Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.
Задачи на логику и сообразительность
Главная \| О проекте \| Все задачи-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C \| Добавить задачу

О сайте
Гостевая книга
ЧаВо

Пользователи
RSS

Поиск на сайте

запомнить меня

Задачи

Переливания и взвешивания

Теорвер, комбинаторика

Задания на наблюдательность

требуется помощь

Чисто поржать

Детские с подковыркой

Данетки

Текущие:

  Мой любимый грех (с)
  Математика в архитектуре
  Не сыпь мне соль на рану
  «Геометрическая»
  Высказывание Ломоносова
  Наверное, не про яблоки
  Комерция
  Везде градусы
  Вагончик тронется, вагончик тронется..
  Спасибо медикам и католикам))
  Специальная купюра
  Студенческая смекалка
  Эллипс vs Круг
  Современные технологии. Немецкий стандарт.
  Спортивная
  философская
  Про газету
  печатная монета
  Купюра евро
  Древние изобретения
  Биометрические паспорта
  Новый глава
  В далеком созвездии тау Кита... 8)))
  Огородное
  Средневековое строительство
  Жестокое наказание
  Их нравы - 4
  Европейский стандарт

Разгаданные недавно:

  этот модный тандыр
  Из Что-Где-Когда
  Может ли такое быть?
  Что изображено?
  Да на тебе пахать надо!

Справочная

Признаки делимости
Площади фигур

Реклама

Версия для смартфонов

задача: Вырезанная фигура

Задачу прислал: Админ

Из бумажного треугольника вырезали параллелограмм. Докажите, что площадь вырезанного параллелограмма не превосходит половины площади исходного треугольника.


+ 0 -

Ответ

Решение задачи

Ваши ответы на задачу

ответов: 14

Вася Пупкин 2012-08-21 20:26:20 пишет:

1)Рассмотрим параллелограмм, у которого две стороны лежат на боковых сторонах нашего треугольника, а не принадлежащая им вершина -- на основании. Такой стоящий на хвосте на основании, а рылом уткнувшийся в вершину. Посмотрим на два треугольника, отрезанные таким образом исходного. Они подобны исходному и друг другу. Пусть длина основания -- единица, а длина основания одного из малых треугольников Q. Площади всех наших трех треугольников есть квадраты их оснований с точностью до одинакового коэфа. Дропнем его нафиг по этому поводу, и разница большой и двух малых площадей превратится в 2Q - 2*Q^2. Эта плюшка максимизируется при Q=1/2, при которой и равна половине, и "нижние" боковые стороны нашего параллелограмма, сталбыть, есть средние линии треугольника.
2)Теперь рассмотрим параллелограмм, который "лежит" на основании, а две "верхние" его вершины -- на боковых сторонах треугольника. Проведем из верхней вершины треугольника на основание прямую, параллельную боковым сторонам параллелограмма. Наша картинка разделилась на две, разобранные в п.1. Экстремум у них совпадает => такой "лежащий" тоже не займет больше половины всей площади.
3)Последнее -- параллелограмм, у которого три вершины лежат на трех сторонах треугольника, а четвертая "болтается". Опять -- возьмем ту вершину треугольника, которая отсечена стороной параллелограмма, и из нее пустим прямую, параллельную соотв. "боковым" сторонам параллелограмма("боковыми" мы их объявим, поставив треугольник нашей вершиной вверх). Получаем две картинки, разобранные в п.2. Одна -- в точности оно, а у другой -- параллелограм лежит на основании, но не "дотягивается"
до одной из боковых сторон треугольника. Он может быть достроен до "дотягивающегося" -- очевидно, большей площади. То бишь, в этом случае исходный параллелограмм выкусил заведомо меньше половины.
4)Во всех остальных случаях параллелограмм может быть достроен с увеличением площади до одного из трех описанных случаев(ну, понятно, чаще всего до третьего). Без поворотов, ну их, они от лукавого.

Админ:

KoKos 2012-08-21 01:58:31 пишет:

:) Тогда поехали... Выбираем произвольно ту сторону треугольника, на которой будут лежать две вершины нашего "касательного" параллелограмма - назовем ее основанием. Такая сторона всегда есть, ибо сторон у треугольника всего три, а вершин у параллелограмма целых четыре. :)) Опять-таки произвольно выбираем одну из двух оставшихся боковых сторон треугольника, и объявляем ее "несущей". Далее строим (еще не вырезаем :))) параллелограмм, одна из сторон которого является средней линией треугольника, параллельной основанию, а вторая - половиной "несущей" стороны, между основанием и средней линией. Назовем его базовым. Во-первых, любой другой "касательный" параллелограмм, построенный на той же средней линии, будет равновелик базовому (та же сторона и та же высота) - так что общности мы не нарушаем. И во-вторых площадь такого базового параллелограмма в точности равна половине площади треугольника (что доказывается настолько элементарно, что я поленюсь, в вашего позволения :))). Осталось доказать, что при любом (параллельном, естественно - ибо двух вершин "привязанных" к основанию никто не отменял ;) отклонении от средней линии базовый параллелограмм (а вместе с ним и все остальные "касательные") будут уменьшаться в площади. Или, что то же самое, что два оставшихся (за вычетом базового параллелограмма) треугольника будут увеличиваться в площади - в этом и заключается весь фокус. ;) Обозначим длину средней линии m а половину высоты треугольника - h. mh = площадь базового параллелограмма, она же сумма площадей оставшихся двух треугольников. dh обозначим изменение высоты базового параллелограмма при отклонении от средней линии (положительное - "вверх", к вершине и отрицательное - "вниз" к основанию). dm обозначим изменение стороны (параллельной основанию, - бывшей средней линии). Здесь сразу следует отметить, что dh и dm всегда противоположны друг дружке по знаку (угадайте, почему? ;))) - это важно. Суммарная площадь оставшихся треугольников составит: (h+dh)(m-dm)/2 [площадь нижнего] + (h-dh)(m+dm)/2 [площадь верхнего] = mh - dh*dm [после раскрытия скобок и сокращения]. Вот и все. ;) Произведение dh*dm всегда отрицательно (см. важное замечание). Минус на минус дает плюс, и соответственно, mh - dh*dm всегда больше mh . Что и требовалось доказать. :)

Админ:

KoKos 2012-08-21 00:13:29 пишет:

Оки. :) Я тогда приму предложение Татьяны о рассмотрении только "касательных" параллелограммов, - у которых все четыре вершины лежат на сторонах треугольника. Для упрощения себе жизни. :))) В принципе, можно доказать, что любой "внутренний" параллелограмм (у которого хотя бы одна вершина НЕ лежит на стороне треугольника) всегда будет иметь меньшую площадь, чем соответствующим образом построенный "касательный" параллелограмм. Но там без *нормальных* чертежей, а не сляпанных на глазок в пэйнте, уже будет не обойтись. :( Так что предлагаю принять как данность. :) Ну, или еще чуток поправить условие. :))) Идет? :)

Админ: вообще, конечно, надо общий случай рассматривать, но от него элементарно перейти к рассматриваемому

Карпова Татьяна Алексеевна 2012-08-20 17:26:16 пишет:

Я бы сформулировала эту задачу так: докажите что из треугольника невозможно вырезать параллелограмм, площадь которого превосходит половину площади данного треугольника.

KoKos 2012-08-20 17:04:18 пишет:

Админ, так все таки - площадь *чего именно* в итоге мы должны оценить и доказать? :) Таки новой фигуры - которая есть остатки треугольника после вырезания из него параллелограмма? Или таки самиого параллелограмма? Это две большие разницы. :)

Админ: Ну да, ну да. Исправил формулировку в условии.

Карпова Татьяна Алексеевна 2012-08-20 13:09:47 пишет:

напротив надо вырезать параллелограмм , имеющий наибольшую площадь и доказать, что эта площадь не превосходит половины площади исходного треугольника.

Админ: именно так, иначе задача не имеет решения, как верно заметил КоКос

KoKos 2012-08-20 13:04:07 пишет:

Татьяна, вряд ли. Ведь можно отрезать очень тонкую прямоугольную полоску вдоль одной стороны - все равно фигня получается... Я ж и говорю - что-то не так в условии. Давайте подождем Админа. :)

Карпова Татьяна Алексеевна 2012-08-20 12:57:59 пишет:

KoKos,очевидо надо рассмотреть параллелограмм все вершины которого лежат на сторонах треугольника.

KoKos 2012-08-20 10:55:33 пишет:

Бррр??? 8) То есть Вы хотите сказать, что вот это вот зеленое не превосходит вот того вот красного??? 80 А мы это еще и доказать должны? XD

KoKos 2012-08-19 15:47:51 пишет:

Хм? Админ, чего-то нехватает в условии. :) Берем треугольник метр-на-метр-на-метр и вырезаем из него квадратик см-на-см-на-см-на-см? 8))) Неужели с таким вырезом площадь треугольника уменьшится вдвое??? 8)))

Админ: так ведь "не превосходит" же

Гость 2012-08-13 20:26:56 пишет:

Рзазаде Жаля эээй это плагиат!!!

Рзазаде Жаля 2012-08-13 17:39:59 пишет:

проще было бы показать то что нарисовал и все..) ну ладно пойдем с конца, имеем параллелограмм со сторонами A и B, он состоит по сути из 2 треугольников, так вот если мы к одному из этих треугольников подставим подобные с внешних сторон(стороной А к стороне А а В к В) то получим один большой треугольник тот самый бумажный треугольник. Вот как-то так.. пойдет?

Админ: пусть так

Гость 2012-08-13 12:49:36 пишет:

Админ: Ну... если бы сам не знал решение, то не понял бы к чему вы ведете :) Ладно, зачтем :)

Гость 2012-08-13 11:17:45 пишет:

Пусть изначально треугольник равносторонний(т.к. какой он нам не сказано). Этот треугольник можно мысленно или карандашом разделить на 4 треугольника(это легко показать: с центра каждой грани провести линии в центр остальных граней) таким образом максимальный параллелограмм который мы можем вырезать будет состоять из 2 соприкасающихся треугольников и его площадь не будет превосходить половины начального треугольника, более того максимальная площадь параллелограмма в данном случае равна половине площади треугольника(т.к. на параллелограмм уходит 2 из 4 треугольников). Объясняю я плохо надеюсь что будет понятно..

Админ: будем считать, для равностороннего треугольника вы доказали. Переходите к общему случаю.

Добавьте комментарий:

Обсуждаем

Задача Разрезанный треугольник:
http://lprobs.ru/img/yes.gif : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : Это было в 1913 году. Одиннадцатилетняя девочка, пансионерка Московской Ржевской гимназии очень прос...
Задача Гора.:
Xuzke : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : В школе все казалось правильным. Из математики следует физика, из физики следует химия, из химии сле...
R-2 : Ты решил: Ну, и наконец, то решение, которое тут видимо предполагается в идеале, я не буду говори...
Так, по старой памяти заглянул :) : R-2, условие неплохо бы конкретизировать. ;)) А то так вариантов может быть масса, хотя все обладают...
Задача 4 хода:
колд : [скрыто]
Задача Кот и мышка:
Дмитрий : [скрыто]
Задача Черная Жемчужина:
mskfirst : [скрыто]
Задача Квадратный торт:
не представился : [скрыто]
Задача Задача с ведрами: 9 и 4 = 6.:
ИносОйЧанбин : [скрыто]
Дкгк7 : [скрыто]
Задача Геометрическая 3:
не представился : [скрыто]
Алексей : [скрыто]
Гостевая книга:
R-2 : Дано: листочек бумаги и ручка. На листочке написаны три нуля. О О О Задача: «как из трёх нулей...

Реклама

© 2009-201x Логические задачи

Задачи на логику и сообразительность

Поиск на сайте

Задачи

Данетки

Справочная

Реклама

задача: Вырезанная фигура

Ответ

Решение задачи

Ваши ответы на задачу

Обсуждаем

Реклама