Логические задачи : Интересный способ

	"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов. Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное. Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.
Задачи на логику и сообразительность
Главная \| О проекте \| Все задачи-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C \| Добавить задачу

О сайте
Гостевая книга
ЧаВо

Пользователи
RSS

Поиск на сайте

запомнить меня

Задачи

Переливания и взвешивания

Теорвер, комбинаторика

Задания на наблюдательность

требуется помощь

Чисто поржать

Детские с подковыркой

Данетки

Текущие:

  Мой любимый грех (с)
  Математика в архитектуре
  Не сыпь мне соль на рану
  «Геометрическая»
  Высказывание Ломоносова
  Наверное, не про яблоки
  Комерция
  Везде градусы
  Вагончик тронется, вагончик тронется..
  Спасибо медикам и католикам))
  Специальная купюра
  Студенческая смекалка
  Эллипс vs Круг
  Современные технологии. Немецкий стандарт.
  Спортивная
  философская
  Про газету
  печатная монета
  Купюра евро
  Древние изобретения
  Биометрические паспорта
  Новый глава
  В далеком созвездии тау Кита... 8)))
  Огородное
  Средневековое строительство
  Жестокое наказание
  Их нравы - 4
  Европейский стандарт

Разгаданные недавно:

  этот модный тандыр
  Из Что-Где-Когда
  Может ли такое быть?
  Что изображено?
  Да на тебе пахать надо!

Справочная

Признаки делимости
Площади фигур

Реклама

Версия для смартфонов

задача: Интересный способ

Задачу прислал: ivana2000

Решите уравнение.


+ 0 -

Ответ

Решение задачи

Ваши ответы на задачу

ответов: 3

Так, по старой памяти заглянул :) 2023-03-16 16:29:34 пишет:

не представился, красиво! 8)

не представился 2023-03-16 15:30:48 пишет:

Делаем замену u=√(x+5) →
u²=x+5 → x=u²-5.
Получаем систему
░│ u=x²-5 (1)
░│ x=u²-5 (2)
Вычитаем (1) из (2):
x-u=u²-x² → (x-u)(x+u+1)=0 →
u=x, либо u=-x-1.
Подставляем u в x=u²-5, получаем 2 квадратных уравнения относительно x:
x²-x-5=0 и x²+x-4=0;
Решаем и делаем проверку:
x=-1/2-√17/2
x=1/2+√21/2

Так, по старой памяти заглянул :) 2023-02-17 14:50:45 пишет:

Хм. :) Действительно, интересный способ есть... Не знаю, его ли имел в виду Автор, но сводится он к превращению страшненького уравнения четвертой степени в систему из двух простых квадратных уравнений, вполне доступных любому школьнику, начиная с какого там, пятого вроде бы класса?

Сам я решал через геометрический подход - он нагляднее и кроме того из него видно, откуда, с какого потолка берутся такие странные замены. Но он имеет два недостатка. :) Во-первых, гостям не дает прилепить картинку, а во-вторых, я что-то никак не могу сообразить, как там строго доказать валидность второй замены (возможно, просто туплю и не замечаю чего-то совершенно очевидного). Поэтому подробно останавливаться на геометрическом подходе не буду, обрисую лишь в двух словах саму идею.

Если внимательно посмотреть на график левой части, то легко заметить, что он представляет из себя половинку параболы х=у^2-5 - то есть ровно такую же самую, как и правая часть, только "перевернутую набок". Такие две параболы будут иметь, в зависимости от свободного члена, ноль, одну, две или четыре точки пересечения (все четыре в нашем конкретном случае), лежащие на прямых у=х и у=-х-1 - поэтому мы имеем полное право заменить "неудобный" корень в левой части на указанные прямые. И в конце просто не забыть отсечь лишние корни, принадлежащие отсутствующей нижней половинке "лежачей" параболы.

Аналитический же подход, наоборот, - позволяет легко и непринужденно доказать абсолютную валидность замен, но (также наоборот) при нем я не вижу, каким чудом можно додуматься до таких подстановок (не зная их наперед, естественно). Но его можно здесь изложить в текстовом виде, так что остановимся на нем подробнее.

Итак, последовательно заменяем нашу неудобную левую на часть на каждую из подстановок и получаем систему из двух квадратных уравнений: х=х^2-5 и -х-1=х^2-5. Приводим оба к каноническому виду: х^2-х-5=0 и х^2+х-4=0. Почему мы имеем право на такие замены? Давайте проверим - проделаем ровно те же самые замены, но не над левой частью уравнение, а над правой: sqrt(х+5)=х и sqrt(х+5)=-х-1. Возведем оба уравнения в квадрат: х+5=х^2 и х+5=(-х-1)^2. Опять приводим оба к каноническому виду: х^2-х-5=0 и х^2+х-4=0 - вуаля! :) Мы получаем совершенно идентичные уравнения, независимо от того, левую ли или правую часть исходного уравнения мы заменяли - что, собственно, и доказывает правомерность замены.

Непосредственно процесс решения самих квадратных уравнений расписывать уже не буду - думаю, все желающие вполне смогут с ними справиться самостоятельно. :))) Остается только не забыть, что такие радикальные замены нам вполне способны принести "лишних" корней, не подходящих в изначальное уравнение - поэтому нам нужны еще и дополнительные ограничения на допустимые корни. Ограничения можно получить из любой из замен (как левой, так и правой частей), но из второй они получаются проще, поэтому так и поступим. Кроме очевидного х≥-5, которое получается из-под корня, у нас добавляется х≥0 для первого уравнения системы и х≤-1 для второго - поскольку корень слева обязан быть неотрицательным, а значит, и замененная правая часть тоже.

Вот и все. :)))

Добавьте комментарий:

Обсуждаем

Гостевая книга:
не представился : Это было в 1913 году. Одиннадцатилетняя девочка, пансионерка Московской Ржевской гимназии очень прос...
Задача Гора.:
Xuzke : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : В школе все казалось правильным. Из математики следует физика, из физики следует химия, из химии сле...
R-2 : Ты решил: Ну, и наконец, то решение, которое тут видимо предполагается в идеале, я не буду говори...
Так, по старой памяти заглянул :) : R-2, условие неплохо бы конкретизировать. ;)) А то так вариантов может быть масса, хотя все обладают...
Задача 4 хода:
колд : [скрыто]
Задача Кот и мышка:
Дмитрий : [скрыто]
Задача Черная Жемчужина:
mskfirst : [скрыто]
Задача Квадратный торт:
не представился : [скрыто]
Задача Задача с ведрами: 9 и 4 = 6.:
ИносОйЧанбин : [скрыто]
Дкгк7 : [скрыто]
Задача Геометрическая 3:
не представился : [скрыто]
Алексей : [скрыто]
Гостевая книга:
R-2 : Дано: листочек бумаги и ручка. На листочке написаны три нуля. О О О Задача: «как из трёх нулей...
Задача Мышки и бутылки:
Никита : [скрыто]

Реклама

© 2009-201x Логические задачи

Задачи на логику и сообразительность

Поиск на сайте

Задачи

Данетки

Справочная

Реклама

задача: Интересный способ

Ответ

Решение задачи

Ваши ответы на задачу

Обсуждаем

Реклама