Логические задачи : Олимпиадная задачка по математике за 7 класс

	"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов. Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное. Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.
Задачи на логику и сообразительность
Главная \| О проекте \| Все задачи-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C \| Добавить задачу

О сайте
Гостевая книга
ЧаВо

Пользователи
RSS

Поиск на сайте

запомнить меня

Задачи

Переливания и взвешивания

Теорвер, комбинаторика

Задания на наблюдательность

требуется помощь

Чисто поржать

Детские с подковыркой

Данетки

Текущие:

  Мой любимый грех (с)
  Математика в архитектуре
  Не сыпь мне соль на рану
  «Геометрическая»
  Высказывание Ломоносова
  Наверное, не про яблоки
  Комерция
  Везде градусы
  Вагончик тронется, вагончик тронется..
  Спасибо медикам и католикам))
  Специальная купюра
  Студенческая смекалка
  Эллипс vs Круг
  Современные технологии. Немецкий стандарт.
  Спортивная
  философская
  Про газету
  печатная монета
  Купюра евро
  Древние изобретения
  Биометрические паспорта
  Новый глава
  В далеком созвездии тау Кита... 8)))
  Огородное
  Средневековое строительство
  Жестокое наказание
  Их нравы - 4
  Европейский стандарт

Разгаданные недавно:

  этот модный тандыр
  Из Что-Где-Когда
  Может ли такое быть?
  Что изображено?
  Да на тебе пахать надо!

Справочная

Признаки делимости
Площади фигур

Реклама

Версия для смартфонов

задача: Олимпиадная задачка по математике за 7 класс

Задачу прислал: KoKos

Даны два одинаковых правильных восьмиугольника и 8 красок. Каждая вершина каждого многоугольника окрашена в один из цветов так, что для покраски каждого многоугольника использованы все цвета. Многоугольники положили один на другой. Докажите, что можно повернуть (не переворачивая) один из многоугольников так, что по крайней мере в двух местах цвета вершин совпадут.


+ 0 -

Ответ

Решение задачи

Ребенок накопал в интернете :) https://pikabu.ru/story/olimpiadnaya_zadachka_po_matematike_7429877 - на данный момент сила пикабу ничего не смогла с ней поделать, давайте посмотрим на нашу силу? :))) Задачка довольно простая, на самом деле, нужен лишь правильный подход.

Ваши ответы на задачу

ответов: 19

jonson-72 2020-06-23 11:37:51 пишет:

Там, у меня, наверное, есть мелкая мат. точность:
вместо "Σn" и "Σ'n" следовало(?) писать "Σ(n-1)" и "Σ'(n-1)".
Или надо было, для наглядности, написать прямолинейно:
"Σ(№)" и "Σ(#)" ; ...соответственно, формула: Σ(№)*2 = Σ(#)
=======================================

кокос, следует ли расценивать непроставление "тырешилы", как свидетельство отсутствия у тебя достаточного кол-ва мозга, необходимого, чтобы этот мой ПРОСТЕЙШИЙ Ответ понять?
...Хотя, согласно твоим же словам, ц.; "нормальным людям наличие мозга таки запрещает разбрасываться бредом сивой кобылы", и вспоминая то кол-во алогичного бреда, что ты выдал в задаче "Побега из круга" (+ все прошлые но актуальные «лужи»), вопрос этот кажется риторическим...:)

т.н. "срач" я не "навёл" и "пытаюсь продолжить" – он и не прекращался (теперь он перманентен), с тех самых времён.
=======================================
а мой коммент [2020-06-19 11:37:07] сотри – он "одноразовый"

jonson-72 2020-06-19 11:37:07 пишет:

(я помню)

(!) насчёт "отсутствия пространственного мышления"... – кокос, ты СЕРЬЁЗНО???
...Между прочим, ту свою чемпионскую задачу «Закат forever» я от начала и до конца решил в уме, без единого рисунка-наброска (записывал только цепочки формул); иллюстрации созданы много позже, исключительно для Авторского Ответа. /// Ничего не пришлось рисовать мне и здесь – кроме черновых имярек Таблиц, на проверку, в процессе "конденсации/материализации" Идеи.

Напоминаю – кто в чём про меня КЛЕВЕЩЕТ (пытаясь оскорбить) – тот в этом _сам_ таким начинает становиться... – медленно но уверенно деградируя в самим же озвученный образ.

KoKos: ... но еще и старательно пытается его продолжить - по неизвестно, из какого пальца высосанному, поводу. ;))

jonson-72 2020-06-19 11:25:04 пишет:

(и опять: я не тугодум – просто не заходил в инет 2 недели)

Только вчера (17-го) увидел рецензию кокоса... – и...засомневался:)
...И, ммм... таки да, признаю, с радостью, – мои первоначальные умозаключения были ошибочны. (– Почему "с радостью"? – Потому что...ПОЯВИЛОСЬ ЧТО РЕШАТЬ (это оказалось интересным)! – ведь, по сути, _решать_ эту Задачу я до сей поры не начинал – написанное ранее можно назвать поспешным(=поверхностным) логическим выводом – не решением.) ...И только после посеянных кокосом сомнений я определённо намерился/заинтересовался *погрузиться* в Задачу, что называется, «конкретно»:). – Сильно глубоко "забуриваться" и не пришлось: Правильное Решение – суть искомое Доказательство – нашлось весьма быстро. Притом простое как три копейки:), – и, вдобавок, математическое, + в общем виде (!). /// ...В головоломное Решение R-2 я даже не стал вникать – мне легче найти _свой_ Путь, чем продираться сквозь чужие "потёмки".
====================================
Итак, мой первоначальный Ответ тоже не пропал даром! – Назовём ситуацию, когда при каждом шаге вращения совпадает _один_ цвет ("крестики – по диагонали") «Событием». – И, проанализировав суть моего прошлого поста, можно заключить, что искомое Доказательство сводится к доказательству невозможности такого События для пары 8-угольников.
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
ОТВЕТ (общий):
• Для n-угольников Событие возможно лишь при _нечётном_ n.
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО / РЕШЕНИЕ:
Элементарнейшее доказательство в общем виде можно обнаружить, если цвета заменить числами.
(!) При n-угольности используется n-ричная система счисления.

Ниже, в Таблице – колонки:
• 1-я: "№X" – порядковый номер вершины верхнего, подвижного n-угольника, = уникальный номер ЦВЕТА (совпадающий с номером его стартовой ПОЗИЦИИ);
• 3-я: "#Z" – порядковый номер ПОЗИЗИИ цвета №X на нижнем, неподвижном n-угольнике-Базе (ес-но, всё это, считая от общего «нуля» в направлении будущих шагов-поворотов).
• 2-я: Слагаемые "Y" нужны для того, чтобы определить, какая позиция #Z Базы должна быть раскрашена в цвет "№X" – чтобы совпасть через Y шагов. ...Или, другими словами, [+ Y] – это *просчитанный сдвиг (в перспективу, в будущее)* «нижнего» _цвета_"№X" относительно его «верхней» начальной _позиции_№X – в позицию #Z, где они и встретятся через Y шагов.
/// Таблица в целом – статическое состояние на начальный момент, при _возможности_ События (т.о. для конкретно 8-угольников имеем «доказательство от противного»).

. . (№X). Y .(#Z)
. . –––––––––––
. . №0 + 0 = #0
. . №1 + 1 = #a
. . №2 + 2 = #b
. . №3 + 3 = #c
. . (...) + ... = (...)
№n-1 + n-1 = #d
.. . || . . . . . . .||
.. . Σn . . . . . .Σ'n

1. Верхняя строка – совпадающий в исходной позиции «нулевой» цвет.
2. Очевидно, что... при том что *вертикальный порядок* последовательности Y во 2-й колонке не детерминирован, «целевые» числа-позиции Базы, взятые как младшие разряды получившихся строковых сумм 3-й колонки _повторяться_не_могут, по определению, – а значит и их сумма тождественна сумме №№ – поскольку это, по факту, тот же самый набор чисел, только перетасованный.
3. Теперь все строки-равенства складываем почленно; – и видим, что _порядок_ объединённых в скобку (аналогично и №№) Y'ков – неважен, т.к. "от перемены мест слагаемых...", – и поскольку в обеих скобках имеем совершенно одинаковый их набор, по итогу выводим:
(Σn)*2 = Σ'n ; – при том что младшие разряды Σn и Σ'n _одинаковы_ (согласно п.2).
4. Думаю, присутствующих здесь "прохфесоров"-математиков вполне очевидно, что данное равенство может быть верным только если младший разряд Σn равен _нулю_ – при любой системе счисления (т.е. для любой пары n-угольников).
5. ...А это тАк – для n-угольников при n-ричной системе счисления – только если n – любое НЕчётное (можете проверить).
(...При этом порядок Y средней колонки (при любом нечётном n) _может_ быть и «прямым», как в Таблице. ...Насчёт "_обязан_ли", единственный ли это вариант – я не исследовал (здесь это лишнее).)
• ИТОГО:
"8" – чётное, = для 8-угольников Событие НЕвозможно. => Доказано.

KoKos: И этот индивид называет решение R-2 "головоломным". Ж8))) А про наведенный срач не только не сожалеет (конечно, он не виноват ни в чем - он ведь даже не пробовал решать задачу Ж8)))...

R-2 2020-06-01 15:55:40 пишет:

Гениальное решение, для 7-угольника тоже работает :-)

jonson-72 2020-06-01 15:48:15 пишет:

какой тебе ещё "контрпример"??? – задачка ДЛЯ СЕДЬМОГО КЛАССА!

...ну ладно – для "шестиклассников" озвучу:

Малыш, очерти на листе в клеточку квадрат 8х8 и проставь в нём крестики _по_диагонали_ (как вариант):
• СТОЛБЦЫ – 8 положений верхнего 8-угольника относительно нижнего ("базы") – т.е. полный цикл вращения;
• СТРОКИ – 8 цветов (реальный порядок следования на 8-угольниках – не имеет значения);
• КРЕСТИК означает "цвет СОВПАЛ".
– Очевидно, что в каждой из 8-ми строк крестик обязательно ЕСТЬ – и ТОЛЬКО ОДИН.
– По столбцам же крестики могут "гулять", – но вариантов-положений, когда их _по_одному_на брата_(столбец) – предостаточно ("по диагонали" – один из), – ...а для невозможности существования искомого "Доказательства" довольно и одного единственного. (...Я так думаю, в _оригинальном_ условии наверняка было сказано, что в стартовом положении ни один цвет не совпал – т.е. Столбец №1 оказался ПУСТЫМ, – а это значит, в какой бы альтернативный столбец крестик из него не переместился, он будет там ВТОРЫМ – чтд.)

P.S. Для людей с не(до)развитым пространственным мышлением – как говорится, "не доходит через голову, дойдёт через руки и ноги", = изготавливайте _вещественную_Модель_ – и вертите-проверяйте.

KoKos: R-2 уже вполне доходчиво доказал, что подобное построение невозможно в принципе - без всяких дополнительных "если". И нормальным людям наличие мозга таки запрещает разбрасываться бредом сивой кобылы. Но раз у нас нашелся индивид, которому не запрещает НИЧТО ;)) - то, очевидно, этот индивид легко способен привести конкретный пример раскраски, опровергающий уже приведенное доказательство?

Так что, контрпример - в студию! ;))

jonson-72 2020-05-27 14:54:38 пишет:

P.S. прямо не терпится увидеть авторское "правильное решение" (88-го уровня сложности:) – чтобы..."поглумиться"

jonson-72 2020-05-27 14:43:10 пишет:

походу, усложнять всё до умопомрачения – это болезнь.

искомое *доказательство* (притом наипростейшее, " на пальцах") здесь существует _только_если_ Условием оговаривается, что в Стартовом положении ни одна вершина не совпадает с цветом "оригинала"-подложки.

! если же такой оговорки НЕТ (и, как следует из "исходных данных", тема ТВ не подразумевается), то НИЧТО не запрещает существовать варианту раскраски, когда 8 вершин совпадают каждая со своим цветом "вразнобой" (по отношению к другим вершинам), – т.е. искомой пары не образуя ни разу.

KoKos: Контрпример - в студию? ;))

R-2 2020-05-24 20:27:37 пишет:

P.S. Для искомого 5-и угольника инвариант убегания должен быть 10. Допустимые значения 0, 5, 10, ... Т.е. построить такой 5-и угольник можно, а потом свместить две вершины поворотом - нельзя.

R-2 2020-05-24 20:19:50 пишет:

Для 8-и угольника, который нельзя повернуть так чтобы цвета двух веншины совпали с начальной раскраской, инвариант убегания равен 28.

Покажем что такой 8-и угольник нельзя построить (по лемме) из начальной раскраски.
Инвариант убегания начальной раскраски равен 0. Когда мы меняем цвета двух соседних вершин, то убегание одного цвета увеличивается на 1, а другого на 7. Т.е. инвариант убегания увеличивается на 8. (Инвариант убегания может также сбрасываться на -8, если цвет убежал на целый оборот.)

Т.е. инвариант убегания может принимать значения 0, 8, 16, 24, 32, ... И не может принять значение 28.

KoKos: Немного сумбурно изложено, но это именно та идея.

R-2 2020-05-24 20:08:21 пишет:

Завметим что если убегания каких-то двух цветов одинаковы, то положив один многоугольник на другой, и повернув на общее число убегания против часовой стрелки, мы добъемся что вершина этих цветов двух многоугольников совпадут.
Чтобы этого не случилось, убегания всех цветов должны быть различны, т.е. быть 0, 1, 2, ... N-1.

R-2 2020-05-24 19:57:53 пишет:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Назавем "убеганием цвета" в данной раскраске число вершин (от 0 до N-1) на которое убежал цвет по часовой стрелке.

На рисунке слева показана начальная раскраска. Тогда для раскраски справа, убегание красного цвета равно 0, а убегание синего цвета равно 2.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Назавем "инвариантом убегания" сумму убегания всех (N) цветов многоугольника.

R-2 2020-05-24 19:44:49 пишет:

ЛЕММА. Дана начальная раскраска вершин N-угольника в N различных цветов. Тогда любую другую раскраску вершин N-угольника в N различных цветов можно перевести в начальную раскраску с помощью многократного применения операции обмена цветами двух каких-то соседних вершин. И наоборот.

KoKos: Верно! Продолжайте?

PS. Хотя не проверял насчет именно соседних - нам достаточно просто "обмена двух".

R-2 2020-05-24 19:36:43 пишет:

Это была попытка решить задачу методом индукции. Для 2-х - очевидно. Для 4-х - можно перебрать в уме. Для 6-и угольника - получился интересный первый ход. Для 8-и - первый ход не получился, и не удалось свести ни к 6-и, ни к 4-м.

KoKos: Дать подсказку?

R-2 2020-05-23 20:46:27 пишет:

Осталось расставить 1 и 2 на C и D. Они не могут идти по порядку D=1. С=2 из-за друг-друга.
Таким образом D=2, но этого не может быть из-за 4.

KoKos: Ну, такое решение в принципе имеет право на жизнь, но, как Вы сами отметили, оно только для шестиугольников. Обобщить его дальше на тебуемый восьмиугольник представляется слишком муторным занятием - там вариантов для перебора сразу вылезет на порядок больше.

Если Вам удастся перебрать то же самое для восьмиугольника - то приму. Но есть намного более простой способ. Там все решение уместится в один пост, и во второй дополнительно доказательство одной не слишком очевидной "леммы" использующейся для основного решения.

R-2 2020-05-23 20:39:40 пишет:

4 может стоять или на А или на D.
Если 4 на А, то В не может быть 1, т.е. В = 5.
Если 4 на D, то 5 не может стоять на С, т.е. 5 стоит на В.

В обоих случаях, 5 стоит на В. Но тогда А не может быть 2. Следовательно А = 4.

R-2 2020-05-23 20:29:17 пишет:

Далее логика не такая красивая.
А не может быть 1 из-за 3
А не может быть 5 из-за 0
В не может быть 2 из-за 0
В не может быть 4 из-за 3
С не может быть 4 из-за 0
D не может быть 5 из-зи 3

R-2 2020-05-23 20:22:53 пишет:

Заметим, что одна из больших диагоналей (без ограничения общности, 0-3) обязательно перейдет в соседние точки.

R-2 2020-05-23 20:10:27 пишет:

Рассмотрим большие диагонали в исходном шестиугольнике 0-3, 1-4, 2-5. Ни одна из них не может перейти в большую диагональ (иначе ее можно совместить поворотом, и две точки найдены.) Больщие диагонали могут перейти или в малые диагонали или соседние вершины.
Возможны только два варианта. См. рисунок.

R-2 2020-05-23 20:03:46 пишет:

Могу решить для шестиугольника и 6 красок (с цветами 0,1,2,3,4,5)

Добавьте комментарий:

Обсуждаем

Задача Гора.:
Xuzke : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : В школе все казалось правильным. Из математики следует физика, из физики следует химия, из химии сле...
R-2 : Ты решил: Ну, и наконец, то решение, которое тут видимо предполагается в идеале, я не буду говори...
Так, по старой памяти заглянул :) : R-2, условие неплохо бы конкретизировать. ;)) А то так вариантов может быть масса, хотя все обладают...
Задача 4 хода:
колд : [скрыто]
Задача Кот и мышка:
Дмитрий : [скрыто]
Задача Черная Жемчужина:
mskfirst : [скрыто]
Задача Квадратный торт:
не представился : [скрыто]
Задача Задача с ведрами: 9 и 4 = 6.:
ИносОйЧанбин : [скрыто]
Дкгк7 : [скрыто]
Задача Геометрическая 3:
не представился : [скрыто]
Алексей : [скрыто]
Гостевая книга:
R-2 : Дано: листочек бумаги и ручка. На листочке написаны три нуля. О О О Задача: «как из трёх нулей...
Задача Мышки и бутылки:
Никита : [скрыто]
Задача Вписанные квадратики:
Маргарита : [скрыто]

Реклама

© 2009-201x Логические задачи

Задачи на логику и сообразительность

Поиск на сайте

Задачи

Данетки

Справочная

Реклама

задача: Олимпиадная задачка по математике за 7 класс

Ответ

Решение задачи

Ваши ответы на задачу

Обсуждаем

Реклама