Логические задачи : О погрешности df(x)

	"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов. Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное. Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.
Задачи на логику и сообразительность
Главная \| О проекте \| Все задачи-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C \| Добавить задачу

О сайте
Гостевая книга
ЧаВо

Пользователи
RSS

Поиск на сайте

запомнить меня

Задачи

Переливания и взвешивания

Теорвер, комбинаторика

Задания на наблюдательность

требуется помощь

Чисто поржать

Детские с подковыркой

Данетки

Текущие:

  Мой любимый грех (с)
  Математика в архитектуре
  Не сыпь мне соль на рану
  «Геометрическая»
  Высказывание Ломоносова
  Наверное, не про яблоки
  Комерция
  Везде градусы
  Вагончик тронется, вагончик тронется..
  Спасибо медикам и католикам))
  Специальная купюра
  Студенческая смекалка
  Эллипс vs Круг
  Современные технологии. Немецкий стандарт.
  Спортивная
  философская
  Про газету
  печатная монета
  Купюра евро
  Древние изобретения
  Биометрические паспорта
  Новый глава
  В далеком созвездии тау Кита... 8)))
  Огородное
  Средневековое строительство
  Жестокое наказание
  Их нравы - 4
  Европейский стандарт

Разгаданные недавно:

  этот модный тандыр
  Из Что-Где-Когда
  Может ли такое быть?
  Что изображено?
  Да на тебе пахать надо!

Справочная

Признаки делимости
Площади фигур

Реклама

Версия для смартфонов

задача: О погрешности df(x)

Задачу прислал: jonson-72

Какие существуют методы снижения погрешности df(x) относительно Δf(x)?


+ 0 -

Ответ

Решение задачи

"обсуждалка"

Ваши ответы на задачу

ответов: 6

ivana2000 2020-04-20 20:50:14 пишет:

ДД, «как правило» совсем не означает «в общем случае».
Разумеется, в каких-то частных случаях методом тыка можно добиться лучшего приближения. Задача слишком обширна и без дополнительных условий не может быть решена. В общем же случае можно только оценить Δf, если использовать полином степени n на интервале [x₀, x₀+Δx].
Вот разложение в полином Тейлора в общем случае с остаточным членом в форме Лагранжа. При n = 0 получается формула
f(x) = f(x₀) + f'(ξ)(x – x₀), x₀ ≤ ξ ≤ x,
т.е. та же формула конечных приращений.

jonson-72:

jonson-72 2020-04-20 11:24:40 пишет:

Вариант, обнаруженный Автором – по ссылке:
https://yadi.sk/i/v4hhvU36czZp9w
– – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – –
...Думал найти что-нибудь по этим имярек "эн-ным приближениям" в справочнике Выгодского – не нашёл... – Зато набрёл, случайно, на «мою» формулу (§§ 264-265)! Выдержка – на рисунке (см. последнее предложение). + Там же было и о моём побочном "открытии" «Интересное геометрическое свойство параболы». /// – Блин – вот про ЭТО я и спрашивал в Гостевой книге! – мол, нету ЛИ чего такого УЖЕ _известного_??? («а в ответ – тишина...»)

jonson-72: Вариант, обнаруженный Автором; + ...

jonson-72 2020-04-20 11:23:23 пишет:

мои текущие соображения:
• Если я правильно понял, тО, что в 1-м посте вы назвали "следующим (т.е. 2-м) приближением" (оно же "полином Тейлора 2-го порядка") – это, конкретно, 4-я строка рисунка. • Далее, логично предположив, что "3-е (и т.д.) приближение" это достраивание цепочки слагаемых по данному образцу, я решил убедиться в верности сего предположения и эффективности самого такого метода наглядно – проверив экспериментально, что, в плане точности, получится для "4-го, 5-го,... (пока не надоест) приближения", – для чего тоже выбрал как раз sin(x) – как функцию, производная которой может браться неограниченное кол-во раз. – ВОт что получилось для цепочки из восьми приближений (гифка демонстрирует получившуюся "лестницу точности" наглядно):
https://hostingkartinok.com/show-image.php?id=6ec7d8f2265e14e25ccc00344acd51a7
– как видим, для функции sin(x) метод корректен, и действенен.
• При этом 2-е приближение хотя и повышает точность 1-го приближения существенно, всё же УСТУПАЕТ (за одним исключением) моей формуле. (Здесь пока буду продолжать называть её "моей", – хотя, как надысь выяснилось, я НЕ первооткрыватель (что было ожидаемо).) Причём уступает не только в точности, но, imho, и в плане эргономики вычислений, – так что таки практичнее применять мой метод, я считаю. /// – Да, – ИСКЛЮЧЕНИЕ: y = x² ; – здесь формула 2-го приближения _тождественна_ моей формуле (если раскрыть скобки), = тоже даёт абсолютную точность, – т.е. тут имеем «две пули в одну дырку».
• А далее эмпирическим путём я выяснил, что в случае _степенных_ функций (x³+) данная форма полинома, начиная с 3-го порядка, начинает лажать, – и их 3-е и т.д. приближение уже больше не обгоняет мою формулу в точности. – (!) Но обнаружился и один любопытный факт: ЕСЛИ вымарать из формул "!" (значки факториала), ТО точность полиномов 3-го и более порядков резко повышается – на каком-то этапе достигая _абсолютной_ (инфа про степенные функции онли, пока что). (...Хотя и всё это больше инфа для эрудиции, а не для практического использования, – т.к. считать полиномы длиннее 2-го порядка, imho, уже нисколько не проще/эргономичнее, чем посчитать саму функцию. ...Да и вообще – все эти ухищрения были хороши и актуальны в ДОкалькуляторную эпоху.)

– ивана, как вы откомментируете этот факт? – что для разных типов функций оптимальны разные (искаженные) типы/формы полинома Тейлора, отличные от «аутентичной». /// ...в общем-то, я не сомневаюсь, что и здесь ничего нового я не открыл... – может даже есть какая-нибудь *таблица соответствий*? – типа «для каких функций какие формы ("извращения") полинома(-ов) подходят».

ivana2000 2020-04-13 20:21:40 пишет:

ДД, обычно требуется приблизить функцию f(x) с погрешностью Δf на некотором интервале Δx некоторой другой функцией, например, полиномом P(n,x), где n − степень полинома. P(n,x) выбирают таким образом, чтобы выполнялось
|f(x) − P(n,x)| ≤ Δf на всем интервале Δx.

Самый простой способ − использовать для приближения полиномы Тейлора (легкость построения, оценки погрешности, максимальная гладкость). Формула
f(x)≈P(1,x) = f(x₀) + f'(x₀)·Δx = f(x₀) + df
или
f(x) − f(x₀) = Δf ≈ df
как раз и является полиномом Тейлора 1-го порядка. Погрешность её можно оценить как
Δf ≤ |Max(f")/2|·Δx²,
но эта оценка во многих случаях является довольно грубой и можно попробовать вместо полинома Тейлора 1-го порядка взять какую-нибудь другую линейную функцию
L(x) = a·x + b, которая бы давала меньшую погрешность приближения, чем P(1,x).

Для наглядности можно рассмотреть f(x) = sin(x) на интервале [0,Pi/2]. Зеленая линия это синус, черная − первое тейлоровское приближение P(1,x), розовая − линейное приближение L(x) (a и b найдены методом тыка), красная − ошибка приближения
Δf = |sin(x) − L(x)|.

Как видно, L(x) гораздо лучше приближает sin(x), чем P(1,x), но для того, чтобы найти коэффициенты a и b, придется найти абсолютный максимум разности
|sin(x) − a·x − b| на [0,Pi/2] в зависимости от a и b. Задача эта сложная и в общем случае, похоже, не решена, хотя по теореме Чебышева такой полином P(n,x), вроде бы, существует. Кстати, значение этого абсолютного максимума будет определять максимальную величину Δf, при которой еще возможно линейное приближение. Если требуемая погрешность меньше максимума, то придется либо уменьшать Δx, либо увеличивать n, т.е. использовать полиномы 2-й, 3-й и.т.д степеней.

jonson-72 2020-04-13 13:10:27 пишет:

"Δf(x)" – это _реальное_ приращение функции.
"df(x)" – это приближённое приращение функции, высчитанное как k*dx, где «k» – угловой коэффициент, = f '(x₀).
– тут уж я "не совсем понимаю", что означает ваше "Обычно требуется уменьшить именно Δf(x)", – поскольку Δf(x) здесь _известное_ЭТАЛОННОЕ_значение для конкретно заданного Δx(dx).
– Вопрос Задачи – максимально приблизить df(x) к Δf(x)
(мой наипростейший метод вы уже знаете).

рисунок обмозгую дома

jonson-72:

ivana2000 2020-04-09 18:58:41 пишет:

ДД, не совсем понятен вопрос. Обычно требуется уменьшить именно Δf(x). Самый простой способ − взять не первое приближение
f(x)≈f(x₀) + f'(x₀)·(x-x₀),
а следующее.

Добавьте комментарий:

Обсуждаем

Задача Разрезанный треугольник:
http://lprobs.ru/img/yes.gif : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : Это было в 1913 году. Одиннадцатилетняя девочка, пансионерка Московской Ржевской гимназии очень прос...
Задача Гора.:
Xuzke : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : В школе все казалось правильным. Из математики следует физика, из физики следует химия, из химии сле...
R-2 : Ты решил: Ну, и наконец, то решение, которое тут видимо предполагается в идеале, я не буду говори...
Так, по старой памяти заглянул :) : R-2, условие неплохо бы конкретизировать. ;)) А то так вариантов может быть масса, хотя все обладают...
Задача 4 хода:
колд : [скрыто]
Задача Кот и мышка:
Дмитрий : [скрыто]
Задача Черная Жемчужина:
mskfirst : [скрыто]
Задача Квадратный торт:
не представился : [скрыто]
Задача Задача с ведрами: 9 и 4 = 6.:
ИносОйЧанбин : [скрыто]
Дкгк7 : [скрыто]
Задача Геометрическая 3:
не представился : [скрыто]
Алексей : [скрыто]
Гостевая книга:
R-2 : Дано: листочек бумаги и ручка. На листочке написаны три нуля. О О О Задача: «как из трёх нулей...

Реклама

© 2009-201x Логические задачи

Задачи на логику и сообразительность

Поиск на сайте

Задачи

Данетки

Справочная

Реклама

задача: О погрешности df(x)

Ответ

Решение задачи

Ваши ответы на задачу

Обсуждаем

Реклама