Логические задачи : Любителям поинтегрировать

	"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов. Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное. Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.
Задачи на логику и сообразительность
Главная \| О проекте \| Все задачи-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C \| Добавить задачу

О сайте
Гостевая книга
ЧаВо

Пользователи
RSS

Поиск на сайте

запомнить меня

Задачи

Переливания и взвешивания

Теорвер, комбинаторика

Задания на наблюдательность

требуется помощь

Чисто поржать

Детские с подковыркой

Данетки

Текущие:

  Мой любимый грех (с)
  Математика в архитектуре
  Не сыпь мне соль на рану
  «Геометрическая»
  Высказывание Ломоносова
  Наверное, не про яблоки
  Комерция
  Везде градусы
  Вагончик тронется, вагончик тронется..
  Спасибо медикам и католикам))
  Специальная купюра
  Студенческая смекалка
  Эллипс vs Круг
  Современные технологии. Немецкий стандарт.
  Спортивная
  философская
  Про газету
  печатная монета
  Купюра евро
  Древние изобретения
  Биометрические паспорта
  Новый глава
  В далеком созвездии тау Кита... 8)))
  Огородное
  Средневековое строительство
  Жестокое наказание
  Их нравы - 4
  Европейский стандарт

Разгаданные недавно:

  этот модный тандыр
  Из Что-Где-Когда
  Может ли такое быть?
  Что изображено?
  Да на тебе пахать надо!

Справочная

Признаки делимости
Площади фигур

Реклама

Версия для смартфонов

задача: Любителям поинтегрировать

Задачу прислал: ivana2000

Когда-то в младенчестве К.Ф.Гаусс с легкостью нашел сумму
1 + 2 + 3 +...+ 100.
А сможете ли вы так же легко найти суммы:

1^2 + 2^2 +...+ 1000^2
1^3 + 2^3 +...+ 1000^3
1^4 + 2^4 +...+ 1000^4
1^5 + 2^5 +...+ 1000^5


+ 0 -

Ответ

Решение задачи

Ваши ответы на задачу

ответов: 25

KoKos 2015-11-26 22:45:45 пишет:

Хм. Ну, не знаю... Может быть мы с Вами по-разному понимаем простоту, а может я просто туплю. Но ничего более интересного, чем эмпирический подбор коэффициентов у меня тут не вырисовывается... А оный подбор я легким способом назвать не могу - потому как он, хотя и достаточно сильно направляется логикой, все равно является методом тыка, пусть и научного :))) и требует вручную отсчитанных хотя бы по полдесятка первых членов каждого Sk, чтобы выявить закономерность, - а лучше и по десятку. Что для старших степеней без калькулятора далеко не есть фунт изюма. :)))

В общем, если сводить к рекуррентным формулам, то выходит так:
Во-первых сразу положим S0(n)=n и далее аргумент (эн) опускаем, чтоб поменьше писать;
S1=S0*(S0+1)/2 - "классический" Гаусс;
S2=S1*(2*S0+1)/3
S3=S1^2
S4=S2*(6*S1-1)/5
S5=S3*(4*S1-1)/3

туговато с общей зависимостью. Даже если переписать

S3=S1*(4*S1-0)/4
S4=S2*(6*S1-1)/5
S5=S3*(8*S1-2)/6

то притянуть за уши

S6=S4*(10*S1-3)/7

все равно не получается - проверка показывает необходимость введения поправки, то бишь возвращаемся к эмпирическому подбору коэффициентов.

ivana2000 2015-11-25 06:23:02 пишет:

Обозначим суммы первых, вторых, и.т.д. степеней k первых натуральных чисел через S1,S2,..,Sn соответственно.
"Метод Гаусса" для S1 поясняется простой схемой:

│ ─── 100 чисел ────
│ 001+002+003+..+100 = S1(100)
│ 100+099+098+..+001 = S1(100)
+ ──────────────────
│ 101+101+101+..+101 = 100*101 = 2*S1(100)

Эта схема вряд ли применима для n > 1, однако существует довольно простой, обобщающий и "гауссов метод", способ найти рекуррентное соотношение для Sn+1 через S1,S2,..,Sn (это уже небольшая подсказка).

KoKos 2015-11-25 02:39:47 пишет:

Хотя с другой стороны, вынужден признать - задачка оказалась более интересной, чем на первый взгляд. :))) То, что сумма кубов оказывается, всегда является квадратом такой же суммы первых степеней - это, хотя и побочный, но несомненно забавный результат. :)

KoKos 2015-11-25 01:49:05 пишет:

ivana2000, а тогда можно чуть подробнее - что именно Вы подразумеваете под "довольно легко"?

Если Вы имеете в виду некий способ довольно легко перемножить штук шесть разнообразных О(1е3) , например - как для случая пятых степеней,- то это в некотором роде жульничество. :))) Некие спецспособы быстрого счета, несомненно существуют... Но - сами по себе. Они не привязаны к данной конкретной задаче.

Если же Вы имеете в виду, что существует легкий способ вывести общий вид (либо итеративный алгоритм) нахождения вышеописанных формуляшечек для произвольного натурального показателя степени - то уже любопытнее. Ибо пока что уже рассмотренные мною квадраты и кубы в общую схему ложиться не собираются, а на четвертых степенях я что-то застопорился...

Или же ни то, ни другое - и Вы имеете в виду принципиально отличный от интегрально-гауссовского :))) подход к решению, не предполагающий ни первого, ни второго вообще? 8)

KoKos 2015-11-24 05:26:50 пишет:

Хм... :))) Позволю себе усомниться в том, что это действительно "так же легко". 8)

Например, для суммы квадратов у нас вырисовывается следующая формуляшечка:
1/3 * n*(n+1)*(2*n+1)/2 -- только не спрашивайте меня, откуда я ее взял... XD оттолкнулся от задекларированного в заголовке интеграла, который должен давать "около эн куб на три" и потрусил в голове мозаику на предмет необходимых поправок, чтобы все сошлось точно. 8))) Так вот, в применении к нашей тысяче это будет, на секундочку, 500*1001*667 - что гораздо веселее 50*101 малютки Гаусса... ;)))

Полагаю, что и для остальных сумм можно вывести и даже доказать соответствующие формуляшечки, но, скорее всего не в этой жизни - так как обещанной легкости я что-то в них не наблюдаю... ;)

ivana2000: Разумеется, "так же легко" получится вряд ли, однако есть метод, позволяющий довольно легко находить подобные суммы.

Добавьте комментарий:

Обсуждаем

Задача Разрезанный треугольник:
http://lprobs.ru/img/yes.gif : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : Это было в 1913 году. Одиннадцатилетняя девочка, пансионерка Московской Ржевской гимназии очень прос...
Задача Гора.:
Xuzke : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : В школе все казалось правильным. Из математики следует физика, из физики следует химия, из химии сле...
R-2 : Ты решил: Ну, и наконец, то решение, которое тут видимо предполагается в идеале, я не буду говори...
Так, по старой памяти заглянул :) : R-2, условие неплохо бы конкретизировать. ;)) А то так вариантов может быть масса, хотя все обладают...
Задача 4 хода:
колд : [скрыто]
Задача Кот и мышка:
Дмитрий : [скрыто]
Задача Черная Жемчужина:
mskfirst : [скрыто]
Задача Квадратный торт:
не представился : [скрыто]
Задача Задача с ведрами: 9 и 4 = 6.:
ИносОйЧанбин : [скрыто]
Дкгк7 : [скрыто]
Задача Геометрическая 3:
не представился : [скрыто]
Алексей : [скрыто]
Гостевая книга:
R-2 : Дано: листочек бумаги и ручка. На листочке написаны три нуля. О О О Задача: «как из трёх нулей...

Реклама

© 2009-201x Логические задачи

Задачи на логику и сообразительность

Поиск на сайте

Задачи

Данетки

Справочная

Реклама

задача: Любителям поинтегрировать

Ответ

Решение задачи

Ваши ответы на задачу

Обсуждаем

Реклама