Логические задачи : Полезное неравенство (обновленный вариант)

	"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов. Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное. Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.
Задачи на логику и сообразительность
Главная \| О проекте \| Все задачи-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C \| Добавить задачу

О сайте
Гостевая книга
ЧаВо

Пользователи
RSS

Поиск на сайте

запомнить меня

Задачи

Переливания и взвешивания

Теорвер, комбинаторика

Задания на наблюдательность

требуется помощь

Чисто поржать

Детские с подковыркой

Данетки

Текущие:

  Мой любимый грех (с)
  Математика в архитектуре
  Не сыпь мне соль на рану
  «Геометрическая»
  Высказывание Ломоносова
  Наверное, не про яблоки
  Комерция
  Везде градусы
  Вагончик тронется, вагончик тронется..
  Спасибо медикам и католикам))
  Специальная купюра
  Студенческая смекалка
  Эллипс vs Круг
  Современные технологии. Немецкий стандарт.
  Спортивная
  философская
  Про газету
  печатная монета
  Купюра евро
  Древние изобретения
  Биометрические паспорта
  Новый глава
  В далеком созвездии тау Кита... 8)))
  Огородное
  Средневековое строительство
  Жестокое наказание
  Их нравы - 4
  Европейский стандарт

Разгаданные недавно:

  этот модный тандыр
  Из Что-Где-Когда
  Может ли такое быть?
  Что изображено?
  Да на тебе пахать надо!

Справочная

Признаки делимости
Площади фигур

Реклама

Версия для смартфонов

задача: Полезное неравенство (обновленный вариант)

Задачу прислал: ivana2000

Даны числа Ai и Bi, i=1..n.
Докажите, что

(A1*B1+..+An*Bn)^2 <= (A1^2+..+An^2)*(B1^2+..+Bn^2)


+ 0 -

Ответ

Решение задачи

Ваши ответы на задачу

ответов: 27

KoKos 2015-11-18 02:15:45 пишет:

А самое смешное, что даже Лагранж Вас бессовестно предает в комплексном случае. То самое тождество, на которое Вы предлагаете опереть доказательство, преспокойно остается верным... Только совершенно бесполезным. 8)

KoKos 2015-11-16 23:49:12 пишет:

ivana2000, я Вам максимально доступным языком повторяю (надеюсь, в последний раз ;))) - объективная реальность никак не меняется от того, что лично Ваш здравый смысл *отказывается* ее понимать. Это проблема Вашего здравого смысла, а не объективной реальности. Возьмите дремучего питекантропа, здравый смысл которого ограничивается понятиями "один, два, три и много". ;))) И попытайтесь ему втолковать что-нибудь про число Пи... ;))) Он от Вас отмахнется ровно так же, как Вы сейчас от меня отмахиваетесь. Но ведь это отнюдь не будет означать, что числа Пи не существует. ;) Вы не хотите понимать и принимать мое решение? Ваше право. Я не вижу смысла от него отказываться просто потакая Вашему добровольному самоограничению.

Если же Вы начинаете утверждать, что мое решение и не решение вовсе, а какой-то бред поставленный с ног на голову, то мой здравый смысл подает голос и заявляет в свою очередь, что когда допустимы несколько разноширок толкований, и не указано специально, какое из них должно использоваться, то по умолчанию используется самое широкое. А ни с какого перепугу не действительные числа. Комплексное число есть число? Баста, приехали: Ваше утверждение неверно. :Р

ivana2000 2015-11-16 16:01:27 пишет:

KoKos, не хотите писать – дело Ваше, но Ваше "решение" неверно. Насчет аксиоматики – создавайте свою, "новую", линейную алгебру.

KoKos 2015-11-07 19:09:03 пишет:

:) Не хочу. Я уже давно написал свое - и оно объективно верное. От того, что Вы не желаете понимать и принимать ту аксиоматику, на которой оно базируется, оно менее верным не становится. Я ведь точно так же имею полное право сказать, что не принимаю аксиоматики x^2>=0 - разве нет? Более того, я это уже говорил, но Вы это точно так же проигнорировали. ;))) Зачем Вам заставлять меня писать то, что хотите Вы? 8)

ivana2000 2015-11-07 17:05:20 пишет:

KoKos, напишите уже доказательство.

KoKos 2015-11-07 16:08:31 пишет:

:) Не, ivana2000, к Вам даже придираться не интересно. Вы упорно гнете свою линию и не понимаете (или успешно делаете вид) даже сути самой придирки... 8))) Хуже другое - Вы ровно также и не понимаете того, что пишете сами. 8) Ваша формула УЖЕ была избыточной, только кривовато избыточной. Теперь Вы ее распрямили, добавив обратно потерянное ранее. Но это НЕ эн слагаемых Вы добавили а всего одно! Или три, если считать раскрытые скобки. Остальные у Вас там уже и так были. Эх...

ivana2000 2015-11-07 12:07:24 пишет:

Ну да, формула справедлива при n >= 2. При n=1 и так всё ясно. Давайте запишем по-другому. Формула получится несколько избыточной (добавится n нулевых слагаемых).
Только всё это СОВЕРШЕННО НЕПРИНЦИПИАЛЬНО.

KoKos 2015-11-06 22:46:20 пишет:

:) ivana2000, то что Вы проверили формулу и ничего подозрительного не нашли - еще не значит, что там его (ничего) нет. ;))

1. В "исходном" варианте имеется вполне очевидный, если взглянуть на него хоть сколько-нибудь критично, ляп - я на него указал. Это i>=j, в то время, как следовало бы i>j. Нестрогое условие приводит к рассмотрению "лишних" слагаемых, которые хотя и дают в результате априорный ноль и не влияют тем самым на конечный итог, но одним лишь своим наличием влияют на ход решения и могут провоцировать ошибки различной степени тяжести, которые, в свою очередь могут уже повлиять и на конечный результат.
2. В Вашей "расшифровке" этот ляп усугублен еще более, ибо Вы как бы с одной стороны начали отсчет с i=2, а не с i=1, что более правильно в свете i>j, но заканчиваете Вы сверху по j=i, вместо правильных j<i или j=i-1 - то есть Вы часть оригинального ляпа выбросили, другую часть оставили, и в итоге даже сами этого не заметили! 8))) Ну и совершенно объективно, Ваша расшифровка не совпадает с оригиналом по рассматриваемым слагаемым, при этом ни малейшего упоминания о том, что они сокращены специально и обоснованно - нет (что и неудивительно).
3. Упоминание в вышеозначенных обстоятельствах *программной* проверки, а также тот факт, что она ничего не показала - по моему скромному мнению, делает всю историю еще более печальной. ;)) Уже одно лишь то, что Вы не доверяете собственной логике и внимательности, а обращаетесь за помощью к железному болвану - говорит о "красоте и негромоздкости" решения гораздо громче, чем все Ваши аргументы вместе взятые. ;) Кроме того, в контексте програмных вычислений, лишние элементы - это накопление лишней погрешности и их бы в первую очередь следовало избегать, как огня.

ivana2000 2015-11-06 09:55:20 пишет:

KoKos, прежде чем выложить эту формулу, я её программно проверил. Так что желание фейспалма возникает у меня, т.к. больше всего путаницы вносите именно Вы.
Смысл этого тождества в том, что разность между частями неравенства напрямую раскладывается в сумму квадратов, делая его очевидным сразу. Да, до этого нелегко додуматься. Нужно иметь большой опыт.
Поэтому я и предлагаю либо доказывать по индукции, что по сути будет равносильно доказательству лагранжева тождества, либо рассмотреть сумму (Ai*x-Bi)^2 i=1,..,n, что и гораздо проще, и будет понятно всем, и столь же "красиво".

P.S.
Ну может кто-нибудь уже потратит 5-10 мин. и рассмотрит эту несчастную сумму (Ai*x-Bi)^2 i=1,..n, a?

KoKos 2015-11-05 22:20:00 пишет:

Хм. 8)) Если новая запись взята из другого источника - то он еще более сакральный, чем первый. :))) Если сакральность первого вызывала легкую улыбку, то второго - уже желание фейспалма. :)

А если это просто Вы для меня расшифровали предыдущую запись, то я Вас "поздравляю". 8) Еще не успев начать собственно доказательство, Вы уже начали вносить путаницу в "красивый и негромоздкий" способ, а именно - куда-то потеряли при расшифровке ни много, ни мало, - три слагаемых. ;))

ivana2000 2015-11-05 17:42:51 пишет:

Да ничего особо сакрального там нет. Просто это запись двойной суммы. При этом экономится одна "сигма". Для программирования не очень удобно.
Можно записать по-другому, как на картинке. А вообще можно напрямую доказывать по индукции. Способ есть.

KoKos 2015-11-05 13:15:48 пишет:

:) Оно и заметно, что из очень умной. ;))) Подскажите, пожалуйста, сакральный смысл выражения i>=j под суммой в правой части равенства? ;))) Это чтоб им поумнее выглядеть, а нам с Вами слагаемых побольше для спотыкания и потенциальных ошибок? 8) О том, что *может быть* они таким образом допускают некоммутативность операции умножения я боюсь даже заикаться. :)))

ivana2000 2015-11-05 12:27:23 пишет:

Формы записи могут быть разными. Вот одна из возможных. Кстати, взята из умной книжки.

ivana2000:

KoKos 2015-11-04 23:54:19 пишет:

Ну и наконец, если верить умным книжкам, то тождество Лагранжа известно миру именно и лишь в своей второй покоординатной форме за номером 9.20 и *именно* для трехмерного случая. Та-дам! :))) А нам тут вроде эн-мерный нужен и без "бездоказательных обобщений"? ;)))

KoKos 2015-11-04 23:26:41 пишет:

Или Вы предпочитаете вот эту, покоординатную форму? А откуда мы ее получим? С какого потолка? Раскроем в правой части скобки и вручную перетасуем слагаемые до получения левой? И так для эн-мерного случая? 8))) Кажется, я начинаю понимать, каким боком тут может быть замешана индукция... "Посади среди цветов сорок розовых кустов" (c)... XD XD XD

KoKos 2015-11-04 23:22:50 пишет:

:))) ivana2000, увы, Вы меня не совсем правильно поняли... Я всего лишь имел в виду, что оставлю попытки заманить Вас на свою территорию, поскольку Вы убедительно показали мне их тщетность. Но если гора не идет к Магомету... ;)))

Итак, Вы предлагаете использовать для доказательства тождество Лагранжа? И будет красиво и негромоздко? А какое из трех, позвольте поинтересоваться? Уж не вот это ли? ;)) И тут Вас косинус с синусом не смущают и телегами перед лошадью не являются? ;)))

KoKos 2015-11-04 11:37:07 пишет:

У-у, как все запущено... 8( То есть Вы попросту боитесь бОльших измерений, потому что Ваш здравый смысл отказывается *это* понимать. Меньших, впрочем, тоже. :) Боюсь, что я не смогу Вам помочь в таком случае - просто не готов... :(

Если хотите, могу попытаться Вам предельно наглядно показать теорему Пифагора, например, для любых измерений, и то, что это самое "понятие нормы" именно является ее обобщением, а не просто может считаться ее аналогом. :) Рискнете рассудком? Или даже не пытаться? :)

А в остальном, ок. Продолжаю считать, что Вы неправы - можете либо считать мой смысл душевнобольным, либо меня пришельцем из пятого измерения. :))) - но таки я их не боюсь и для меня все эти углы и плоскости вполне очевидны и естественны в эн измерениях. 8))) Засим больше не буду Вас доставать по вопросам многомерной геометрии, разве что сами выявите такое желание.

ivana2000: Наконец-то!
Холивар закончен!
Ура!

ivana2000 2015-11-04 10:46:45 пишет:

KoKos, не занимайтесь ерундой. Если СПЕЦИАЛЬНО не оговорено, то все числа и функции предполагаются ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ. Понятие о плоскостях, углах на плоскости, да и вообще о геометрии на плоскости возникает из-за того, что на "плоскость" можно взглянуть "сверху" из 3-измерения. 3-мерная монета в 2-пространстве будет не кругом, а отрезком, как и всё в 2-измерении. В 2-измерении нет углов, кругов, многоугольников. 2-измерение – мир прямых линий и отрезков. Линейки, транспортиры, теорема Пифагора – все это атрибуты 3-пространства, где всё понятно, исходя из здравого смысла. Если размерность больше 3, то все понятия становятся чисто умозрительными, абстрактными. Дальнейшее обобщение происходит по аналогии с 3-пространством НОРМАТИВНО. В n-пространстве нет теоремы Пифагора, а есть понятие нормы, которое и можно считать аналогом теоремы Пифагора, и которое вводится определением по аналогии с 3-пространством. А вот ввести аналогичное понятие величины угла (опять же "смотря" на него из 3-пространства), как части дуги, нельзя. Здравый смысл отказывается это понимать. Но, видимо, Вы побывали в высших измерениях, Вам понятно, что такое n-угол, что так легко измеряете его величину (непонятно что такое) 3-транспортиром (понятно что такое). А как быть с n-площадями и n-объемами?
Угол вводится через его косинус и скалярное произведение по определению, нормативно, по аналогии с 3-пространством. Но вот здесь-то и возникает необходимость в доказательстве неравенства, которое, вообще говоря, не зависит даже от способа определения угла. Так что Ваше "простое и красивое решение" потому простое и красивое, что является прямым следствием неравенства или, скорее, "замкнутым кругом".

А неравенство это, само по себе, доказывается без привлечения n-пространств и скалярных произведений. Не особо громоздко, но столь же красиво (особенно если использовать тождество Лагранжа).

KoKos 2015-11-04 05:20:11 пишет:

И кстати, я Вас таки разочарую... ;) Уж если речь заходит об общем случае, то таки скалярное произведение НЕ вводится в комплексном пространстве по-другому. Ничуть. А совсем наоборот - вводится оно совершенно одинаково "по-комплексному" в обоих случаях. Только в случае действительных "выродков", поголовно являющихся самосопряженными комплексами, позволяет всего лишь упрощенную запись. ;)))

KoKos 2015-11-04 05:07:08 пишет:

1. И не подумаю. Вы ведь сами к ним взываете, отказываясь ввести в формулировку условия ограничение, и упорно склоняя всевозможные перефразировки "общего случая". :Р
2. Я знаю. ;) И как я уже заметил, для *скалярного произведения* (именно, что иначе введенного) неравенство *было бы* справедливым. Но у Вас в условии НЕ скалярное произведение - в общем случае. И Ваше неравенство таковым НЕ останется. ;)
3. Из плоскости оно возникает, откуда ж еще? 8) Монета? При чем здесь монета? Откуда я знаю, какие монеты чеканят себе плосклики? 8))) Ну, допустим, она круглая - что из того? 8)
4. М-м-м? Линейкой и транспортиром? Нет? 8)) Теорему дедушки Пифагора отменили? Или запретили итеративно обобщить на пространство любой конечной размерности? (Ага, индукцией ;) Или три точки, не лежащие на одной прямой, вдруг перестали однозначно задавать плоскость? 8) Начиная со скольки измерений перестали? ;)))
5. "Мой" дедовский способ является в равной степени "Вашим", ибо Вы ничуть не смущаясь и не менее "бездоказательно" только что объявили свойства двумерных фигур свойствами трехмерного пространства. :Р Поймите, не в количестве измерений дело! А только в качестве. Ни углы, ни прямые, ни плоскости, ни векторы, ни прочая ерунда никуда не девается от добавления "лишних" измерений. Вся эта братия начинает видоизменяться или исчезать вовсе от качественных изменений - изменения природы самих чисел, "населяющих" пространство, - как, например, перехода к комплексным. ;)

Что получится "короче" - я отлично знаю. Но я никак не пойму, почему Вы старательно требуете отказаться от простого и красивого решения в пользу громоздкого и избыточного в данном конкретном частном случае "короче"? 8)))

Добавьте комментарий:

Обсуждаем

Задача Разрезанный треугольник:
http://lprobs.ru/img/yes.gif : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : Это было в 1913 году. Одиннадцатилетняя девочка, пансионерка Московской Ржевской гимназии очень прос...
Задача Гора.:
Xuzke : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : В школе все казалось правильным. Из математики следует физика, из физики следует химия, из химии сле...
R-2 : Ты решил: Ну, и наконец, то решение, которое тут видимо предполагается в идеале, я не буду говори...
Так, по старой памяти заглянул :) : R-2, условие неплохо бы конкретизировать. ;)) А то так вариантов может быть масса, хотя все обладают...
Задача 4 хода:
колд : [скрыто]
Задача Кот и мышка:
Дмитрий : [скрыто]
Задача Черная Жемчужина:
mskfirst : [скрыто]
Задача Квадратный торт:
не представился : [скрыто]
Задача Задача с ведрами: 9 и 4 = 6.:
ИносОйЧанбин : [скрыто]
Дкгк7 : [скрыто]
Задача Геометрическая 3:
не представился : [скрыто]
Алексей : [скрыто]
Гостевая книга:
R-2 : Дано: листочек бумаги и ручка. На листочке написаны три нуля. О О О Задача: «как из трёх нулей...

Реклама

© 2009-201x Логические задачи

Задачи на логику и сообразительность

Поиск на сайте

Задачи

Данетки

Справочная

Реклама

задача: Полезное неравенство (обновленный вариант)

Ответ

Решение задачи

Ваши ответы на задачу

Обсуждаем

Реклама