"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов. Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное. Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.

Задачи на логику и сообразительность




О сайте
Гостевая книга
ЧаВо

Пользователи
RSS

Поиск на сайте





запомнить меня
Зарегистрироваться


Задачи



Данетки


Текущие:

  «Геометрическая»
  Высказывание Ломоносова
  Наверное, не про яблоки
  Комерция
  Везде градусы
  Вагончик тронется, вагончик тронется..
  Спасибо медикам и католикам))
  Специальная купюра
  Студенческая смекалка
  Эллипс vs Круг
  Современные технологии. Немецкий стандарт.
  Спортивная
  философская
  Про газету
  печатная монета
  Купюра евро
  Древние изобретения
  Биометрические паспорта
  Новый глава
  В далеком созвездии тау Кита... 8)))
  Огородное
  Средневековое строительство
  Жестокое наказание
  Их нравы - 4
  Европейский стандарт

Разгаданные недавно:

  этот модный тандыр
  Из Что-Где-Когда
  Может ли такое быть?
  Что изображено?
  Да на тебе пахать надо!


Справочная



Признаки делимости
Площади фигур


Реклама






задача: Для устного счета 4

Задачу прислал: ivana2000


Сложность: сложныеИзвестно, что X1,X2,...,Xn >= 0.

Найдите в уме максимум выражения


(X1+X2+...+Xn)^2/(X1^2+X2^2+...+Xn^2)



Ответ





Решение задачи





Ваши ответы на задачу


ответов: 15

Вячеслав 2015-09-02 12:31:12 пишет:
Значит Википедия, как всегда в некорых случаях, не точна (можете погуглить "Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим"). Там написано "Неравенство Коши (неравенство о средних) гласит, что для любых неотрицательных чисел X1,X2,...,Xn верно неравенство: Q(n)>=A(n)>=G(n)>=H(n),
причем равенство достигается тогда и только тогда, когда X1=X2=...=Xn. Т.е. в Википедии неравенство о средних приписано Коши :))). Ну да ладно, я действительно в высшей математике не силен.

ivana2000 2015-09-02 11:58:28 пишет:
Комментарий.
Обозначим
Q(n)=√[(X1^2+...+Xn^2)/n] ─ ср. квадратичное,
A(n)=(X1+...+Xn)/n ─ ср. арифметическое,
G(n)=sqrt(n,X1*...*Xn) ─ ср. геометрическое,
Q(n)=n/(1/X1+...+1/Xn) ─ ср. гармоническое.

Тогда имеем классическую линейку неравенств
Q(n) >= A(n) >= G(n) >= H(n), причем равенство возможно только если X1=...=Xn, а неравенство
A(n) >= G(n) называется неравенством Коши.

Берем неравенство Q(n) >= A(n) или
√[(X1^2+...+Xn^2)/n] >= (X1+...Xn)/n.
Возводим в квадрат
(X1^2+...+Xn^2)/n >= (X1+...Xn)^2/n^2 или
n >= (X1+...Xn)^2/(X1^2+...+Xn^2).

Очевидно, максимум выражения справа равен n и достигается при X1=...=Xn.



Вячеслав 2015-09-02 10:58:09 пишет:
Админу: короче "меньше или равно", знаками не проходит (только словами).

Вячеслав 2015-09-02 10:56:35 пишет:
Админу: заменил "

Вячеслав 2015-09-02 10:54:19 пишет:
Первый раз что-то глюконуло с передачей сообщения. Попробую еще.
1. Из неравенства Коши A(n)меньше или равно Q(n).
2. Возводим обе части в квадрат, сокращаем одно n, меняем местами знаменатель левой части (n) с правой частью. В итоге получаем: (X1+X2+...+Xn)^2/(X1^2+X2^2+...+Xn^2) меньше или равно n
3. Из неравенства Коши, равенство достигается тогда и только тогда, когда X1=X2=...=Xn, в данном случае оно является максимумом, т.е. n.
   ivana2000: Это НЕ неравенство Коши, а неравенство между ср. арифметическим и ср. квадратичным. Читайте мой комментарий.
Осталось еще две задачки.

Вячеслав 2015-09-02 10:46:42 пишет:
Первый раз что-то глюконуло с передачей сообщения. Попробую еще.
1. Из неравенства Коши A(n)

Вячеслав 2015-09-02 10:16:25 пишет:
Админу: очередной раз проходит только часть теста (картинок нет). Зря не скопировал - придется набирать по новой!!!

Вячеслав 2015-09-02 10:12:55 пишет:
Ну хорошо, попробую, как Вы хотите это видеть.
1. Из неравенства Коши A(n)

Вячеслав 2015-08-30 14:37:05 пишет:
На счет, "другой способ решения" поддерживаю, я тоже хотел написать для ivana2000 (но не в этой теме), чем для него отличается х*х*х от х^3 (для примера) - педант Вы какой-то (не обижайтесь).

KoKos 2015-08-30 14:17:56 пишет:
:) Странные выводы Вы делаете... Мне, наверное, показалось, что этим микроскопом я решил три из четырех задач, причем местами даже в более общем виде? ;))) Единственным его недостатком явилось лишь то, что лично Вы хотели увидеть другой способ решения - именно к этому относится моя лень. Не вижу необходимости искать альтернативное решение, если имеющееся меня полностью удовлетворяет. А то, что Вам оно не нравится - так это, как раз, не мои проблемы. ;))) И то, что я не требовал себе "тырешилу" с пеной у рта - отнюдъ не является проявлением слабости или признанием Вашей правоты в данном вопросе.

KoKos 2015-08-30 00:06:39 пишет:
:) ivana2000, ну тогда Вы рискуете унести секрет фокуса с собой. Я слишком ленив для того, чтобы отправляться на подвиги в тридесятое царство за молотком, если у меня под рукой есть микроскоп, которого вполне достаточно... :)))
   ivana2000: Вы ленивы? Это ваши проблемы. Никто не говорил, что будет просто.

Да и "микроскоп" Вам что-то мало помогает...

K2 2015-08-29 18:21:01 пишет:
как-то как не прикину - всё N получается... так, не?

ivana2000 2015-08-29 09:34:17 пишет:
Да, KoKos, я упорно хочу добиться того, чтобы кто-нибудь написал решение в пару строчек. ВСЕ ПОДСКАЗКИ УЖЕ ЕСТЬ. Самая первая задачка сама по себе подсказка. Во многих задачах на этом сайте необходимые для решения соотношения использовались неоднократно. Соотношения эти известны многим (надеюсь на это) и не предполагают использование производных, частных производных, гиперсфер и.т.п. Нужно только из этих формальных соотношений сделать правильные выводы. При небольшом опыте все четыре задачи решаются в уме за ~30 с.

KoKos 2015-08-29 03:47:32 пишет:
Кстати, такое построение еще и мимоходом демонстрирует, что условие неотрицательности всех иксов совершенно излишне - максимум всегда будет ровно эн, вообще для любых иксов. ;)

KoKos 2015-08-29 03:36:32 пишет:
Ж:))) ivana2000, я так понимаю, что Вы упорно хотите получить пресловутое "школьное" решение, которое неправильно проходят? :))) Видимо, я таки неправильно его проходил - несмотря на все Ваши старания, я никак не возьму в толк - о чем идет речь... Так что я опять выкручусь, как умею. :D



Фиксируем произвольную подходящую точку X1,X2,...,Xn >= 0 и рассматриваем луч из нуля через нее: А*X1,А*X2,...,А*Xn - вдоль всего луча выражение постоянно, что легко видно в уме - и в числителе, и в знаменателе за скобки уносится А^2 и радостно сокращается. Таким образом, без ограничения общности, максимум выражения можно преспокойно искать как максимум числителя на (гипер)сфере X1^2+X2^2+...+Xn^2=R^2 произвольно зафиксированного радиуса R. Квадрат из числителя тоже долой - он нам неинтересен, ибо максимум квадрата достигается в максимуме его аргумента. Итого получаем к рассмотрению сечение нашей гиперсферы гиперплоскостью X1+X2+...+Xn=С . Что мы о ней знаем? Ее нормаль - вектор (1,1,...,1) а константа С характеризует ее удаление от начала координат вдоль оной нормали. Поскольку сфера у нас тоже имеет центр именно в начале координат, то максимального удаления наше сечение достигнет в точке касания, то бишь именно на самой нормали (не забываем, вдоль любого центрального луча значение выражения постоянно). Так что, не мудрствуя более лукаво, так и подставим X1=X2=...=Xn=1 - и получим значение максимума =n . ;)

Добавьте комментарий:
Автор:

Комментарий:

Пожалуйста, введите символы с картинки:
(подтверждение не требуется для зарегистрированных пользователей)



 





Обсуждаем

  Задача Квадрат 4x4:
не представился : [скрыто]
Задача Дефект масс:
R-2 : [скрыто]
Задача Некормленые марсиане:
jonson-72 : [решил задачу]
KoKos : [решил задачу]
Задача Опять собеседование в Яндекс:
не представился : [скрыто]
Задача Механика -2:
jonson-72 : [скрыто]
Задача Некормленые марсиане:
не представился : [решил задачу]
Задача Механика -2:
R-2 : [скрыто]
ivana2000 : [скрыто]
Задача 6-4=8:
не представился : [скрыто]
Задача Опять собеседование в Яндекс:
R-2 : [скрыто]
R-2 : [скрыто]
Данетка Новый глава:
Виталий : [задал вопрос]
Задача Почти игра в 12 палочек:
Виталий : [скрыто]
Задача Опять собеседование в Яндекс:
Виталий : [скрыто]



Реклама



© 2009-201x Логические задачи