"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов. Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное. Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.

Задачи на логику и сообразительность




О сайте
Гостевая книга
ЧаВо

Пользователи
RSS

Поиск на сайте





запомнить меня
Зарегистрироваться


Задачи



Данетки


Текущие:

  «Геометрическая»
  Высказывание Ломоносова
  Наверное, не про яблоки
  Комерция
  Везде градусы
  Вагончик тронется, вагончик тронется..
  Спасибо медикам и католикам))
  Специальная купюра
  Студенческая смекалка
  Эллипс vs Круг
  Современные технологии. Немецкий стандарт.
  Спортивная
  философская
  Про газету
  печатная монета
  Купюра евро
  Древние изобретения
  Биометрические паспорта
  Новый глава
  В далеком созвездии тау Кита... 8)))
  Огородное
  Средневековое строительство
  Жестокое наказание
  Их нравы - 4
  Европейский стандарт

Разгаданные недавно:

  этот модный тандыр
  Из Что-Где-Когда
  Может ли такое быть?
  Что изображено?
  Да на тебе пахать надо!


Справочная



Признаки делимости
Площади фигур


Реклама






задача: Для устного счета

Задачу прислал: ivana2000


Сложность: средняяДокажите в уме, что для положительных чисел x1,x2,...,xN



(x1+x2+...xN)*(1/x1+1/x2+...+1/xN) >= N^2



Ответ





Решение задачи





Ваши ответы на задачу


ответов: 12

Вячеслав 2015-08-30 14:12:24 пишет:
В смысле "не в уме", а "для устного счета", и "не тянет", а "сложная".

Вячеслав 2015-08-30 14:09:02 пишет:
ivana2000 - я пас - из неравенства Коши, я знал только "арифметическое" и "геометрическое". После гугления узнал "квадратическое" и "гармоническое". Плагиатом не люблю заниматься, так, что Вы , там уже сами с KoKosom разбирайтесь. А, вообще, эта задача требует специализированных знаний, и "в уме" не тянет.

Вячеслав 2015-08-30 12:42:50 пишет:
Кстати "Для устного счета 2", я уже дал ответ N. Но Вы не ответили?
   ivana2000: А обоснования?

Кстати, всего того, что я здесь понаписал, вполне достаточно для решения всех трех задач.

Вячеслав 2015-08-30 12:38:45 пишет:
Попробую, но боюсь, для меня это будет космос. Но первую решил сам.

Вячеслав 2015-08-30 12:28:32 пишет:
ivana2000 - я никогда не любил высшую математику (но относился к ней лет 30 назад с уважением). Поэтому, на данный момент мои познания скромные - решил как смог (может дольше, и заднее место - зато решил).
   ivana2000: Решите оставшиеся три задачки.

ivana2000 2015-08-30 11:44:00 пишет:
Некоторые комментарии.

Решение Вячеслава.

Легко прикинуть, что

Z=(X1+...+Xn)*(1/X1+...+1/Xn)=

(X1/X2+X2/X1)+...+(Xn-1/Xn+Xn/Xn-1)+n, а

количество выражений в скобках равно n(n-1)/2.

Из простейшего неравенства Коши

(Xi/Xj+Xj/Xi)/2 >= sqrt[(Xi/Xj)*(Xj/Xi)]=1, откуда

Xi/Xj+Xj/Xi >= 2.

Сложив все неравенства, получим

Z >= 2*[n(n-1)/2]+n=n^2.



Из неравенства о средних A(n) >= H(n)

(X1+...+Xn)/n >= n/(1/X1+...+1/Xn)

доказательство следует сразу.



Можно использовать только неравенство Коши

A(n) >= G(n).

(X1+...+Xn)/n >= sqrt(n,X1*...*Xn)

(1/X1+...+1/Xn)/n >= sqrt(n,1/X1*...*1/Xn)

Перемножив оба неравенства, получим требуемый ответ.


Вячеслав 2015-08-30 10:53:38 пишет:
Попробую не сильно коряво (может получится). 1. Из неравенства Коши ((x+y)/2>=sqrt(xy)) следует (х^2+y^2)/xy>=2. 2. х1*1/x1=1 ... xN*1/xN=1 (и таких единиц N). 3. Далее существуют пары x1/x2 + x2/x1, которые превращаются в Коши (см. пункт 1). 4. Таких пар - сочетание из N по 2, равно N!/(2!*(N-2)!)=N*(N-1)/2. 5. Конечная формула N + N*(N-1)/2*(>=2) (двойки сокращаем, >= остается, ну и далее получаем >= N^2.
   ivana2000: Несколько лучше. Ну да ладно.

ivana2000 2015-08-30 09:22:38 пишет:
KoKos, видимо, я поторопился утверждать, что классическая линейка неравенств

Q(n) >= A(n) >= G(n) >= H(n)

известна многим. Похоже, Вам она как раз неизвестна.

Для доказательства не нужны частные производные и гиперсферы. Все доказывается элементарно практически на основании только неравенства Коши A(n) >= G(n) и совсем уж элементарных неравенств

Q(2) >= A(2) >= G(2) >= H(2).

Элементарных доказательств неравенства Коши наберется, наверное, более десятка, включая и доказательство самого Коши. Выбирайте любое.

Вот Вячеслав, например, если потратить некоторое время на разбирательство его комментария (уж очень коряво написано), практически доказал, чего вообще-то не требовалось, что A(n) >= H(n) совершенно элементарно.

Так что анекдот Ваш здесь неуместен. Понять и запомнить все это исключительно просто.

KoKos 2015-08-30 00:25:31 пишет:
Ну, ок. :) Можем поделить обе части на заведомо положительный N^2. Получим А/Г >= 1 , где А - среднее арифметическое, а Г - среднее гармоническое. Что как бы и требовалось доказать, исходя из того, что А>=Г ?



Вопрос лишь в том, кто сказал, что А>=Г ? ;) Как говорится в старом анекдоте, "Дети, это невозможно понять, это надо выучить и запомнить?" XD



"Для доказательства неравенства о средних достаточно показать, что частная производная A_d(x_1, ldots, x_n) по d неотрицательна и обращается в ноль только при x_1 = ldots = x_n (например, используя неравенство Йенсена), и далее применить формулу конечных приращений." Конец цитаты. :) Говорите, не надо нам никаких гиперсфер? ;)))

Вячеслав 2015-08-29 12:11:39 пишет:
Четвертый пункт "N + N/2*2"

Вячеслав 2015-08-29 12:09:37 пишет:
Давайте я за Кузьму продолжу: 1. Из Коши следует (х^2+y^2)/xy>=2. 2. х1*1/x1=1 ... xN*1/xN=1 (и таких единиц N). 3. Далее существуют пары x1/x2 + x2/x1, которые превращаются в Коши (см. пункт 1). 4. Т.к. это пары, то имеем N*N/2*2, т.е. >= N^2. Как-то так.

Кузьма 2015-05-29 03:21:02 пишет:
Неравенство Коши (неравенство о средних)
   ivana2000: Вы на очень правильном пути. Осталось совсем чуть-чуть.

Добавьте комментарий:
Автор:

Комментарий:

Пожалуйста, введите символы с картинки:
(подтверждение не требуется для зарегистрированных пользователей)



 





Обсуждаем

  Задача Задача для связиста:
KoKos : [скрыто]
ivana2000 : [скрыто]
KoKos : [скрыто]
Задача Может ли такое быть?:
не представился : [скрыто]
не представился : [скрыто]
ivana2000 : [скрыто]
Задача Задача для связиста:
не представился : [скрыто]
Задача Может ли такое быть?:
не представился : [решил задачу]
Задача 100 мальчиков на 100 комнат:
МИСТЕР ТУПОЙ : [скрыто]
Задача Может ли такое быть?:
не представился : [скрыто]
ivana2000: Да.
не представился : [скрыто]
ivana2000: Верхняя фигура является объектом, нижняя – его образом (отражением) в зеркале.
Задача Интересно:
Вероника : [скрыто]
Задача Взлёт или посадка?:
KoKos : [скрыто]
Задача Что изображено 2?:
Иван : [скрыто]
ivana2000: Да, но есть еще кое-что.
Задача Взлёт или посадка?:
KoKos : [скрыто]
Админ: :) Может, сразу в ракетную шахту паркуется?



Реклама



© 2009-201x Логические задачи