"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов.
Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное.
Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.
Опять смотрим картинку и строим вектор A+B по правилу параллелограмма.
Очевидно, что минимум 3S, равный a^2+b^2+c^2,
наблюдается при 3X=A+B, или X=(A+B)/3
Т.о., точка W лежит на медиане треугольника T1T2T3 на расстоянии 1/3 длины диагонали T1T4, или на расстоянии 2/3 длины самой медианы, от точки T1. Т.е. точка W совпадает с точкой пересечения медиан треугольника M, а сам минимум суммы равен
(a^2 + b^2 + c^2)/3
Из дополнительных построений (точки K, K1, M1), для тех, кто не помнит, можно легко доказать, что медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.
Вася Пупкин 2014-10-07 03:38:03 пишет:
Ага, эта плюшка, что-то плохое вылавливала в английском тексте, а я переключаться очень не люблю, от этого и пишу обычно словами. Тут во всем англисйком предложении с формулами пришлось-таки заменить текст на русский перевод...
Вася Пупкин 2014-10-07 03:35:08 пишет:
Ivana2000, да сколько ж можно-то. Пусть О -- таргет точка, а Х -- какая-то другая, X != 0, Ai -- вершины треугольника, i = 0,1,2. Sigma((XAi)^2) = Sigma((XO+OAi)^2) = Sigma((XO)^2+2*XO*OAi+(OAi)^2)= Sigma((OAi)^2) + 2*XO*Sigma(OAi) + 3*(XO)^2. В экстремуме линейная по ХО часть занулится, квадратичная по ХО часть так и так положительна, следовательно, Sigma(OAi) = 0 определяет именно минимум.
ivana2000:
Вася Пупкин 2014-10-07 03:30:59 пишет:
Что-то уже второй раз послание с формулами пропадает.
Хм? Ну так вон же - на радикале все символы скопом. :))) Там по ссылке большая читабельная картинка, это в комментарий я маленькую превьюшку прилепил, просто чтоб видно было, чего ожидать. :)
Я понимаю, что вы тоже все понимаете. Но, может быть, кто-нибудь немного напряжется и напишет пару формул, заменив слова "сложить", "умножить", "квадрат" и.т.д, символами "+/-", "*/", "^2" и.т.д (шутка).
K2, если заранее принять как данность тот факт, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 1:2 - то остальное доказывается проще пареной репы. ;)) Если мы продолжим СМ до пересечения с АВ, то получим нечто (а не медиану ли?), поделенное точкой М как раз в нужном отношении. Имея на руках все формулы с рисунка, то что СМ - именно медиана, доказывается из подобий треугольников.
Проба не удалась. :) Но таки что-то геометрическое в этой задаче есть. :))) Тройка в знаменателе вызвала смутные подозрения - пошел погуглил - так и есть. Искомая точка - так называемый центроид треугольника, а проще - точка пересечения его медиан. :)
Долго носился с ошибочной, как оказалось, идеей, что искомая точка должна быть центром вписанной в треугольник окружности - навеяло "геометричностью" задачи. :)) В итоге задача оказалась чистой воды алгебраической. :)
Без ограничения общности можем выбрать систему координат, как показано на рисунке. "Выродки" тривиальны и никакого особого интереса не представляют. Целевую сумму квадратов раскладываем на две покоординатные суммы соответствующих квадратиков. :) Поскольку координаты у нас совершенно независимы, то и каждую покоординатную сумму минимизируем отдельно - в результате получим минимум целевой суммы. каждая из покоординатных сумм представляет собой параболу, как функцию от координаты. Минимум параболы находится точно посередине между ее корнями. Воть и все, в общем... :)))
ivana2000:
Вася Пупкин 2014-10-05 08:01:51 пишет:
ivana2000, экий Вы строгий милицанер. Ну ладно -- возьмем искомую точку О, и какую-нибудь еще Хы рядышком. Запишем векторы из Хы в вершины как сумму вектора из Хы в О и вектора из О в вершину. Теперь все их заквадратим. Получим, что сумма квадратов векторов из Хы есть сумма квадратов из О плюс три суммы квадрата ХыО плюс удвоенное произведение вектора ХыО на сумму векторов из О. Отличка от минимальной суммы, сталть -- трижды ХыО-квадрат плюс два ХыО*сумму из О. Поскольку мы в экстреме, линейная по ХыО часть должна занулиться(иначе, понятно, она вблизи О всегда забьет квадратичную), то бишь, сумма векторов из О есть нуль(то бишь, О и есть центр тяжести, то бишь, пересечение, медиан). Зачем всю эту было телегу выписывать, если есть закон Гука, дающий энергию как квадрат растяжения, а значит, и минимум ее, совпадающий с минимумом суммы квадратов, а значит, и равновесие -- я не очень понимаю, этот физический язык ничуть не менее строгий. Но воля(впрочем, как и задача) Ваша, написал "математически". По поводу джентльмена -- ну, "правота"-то меня вообще не очень интересовала, интересовало -- какое решение Вы знаете, как автор задачи. Но, кстати, забавно, что как раз в Вашей формулировке "что чисто формально он прав в том, что действительно не указано какое среднее искать" -- получается, что "прав" таки я, поскольку это именно мой пойнт был "не сказано точно, а потому давайте посмотрим, что легко считается". Но, поуторяю -- интересно, какое у Вас решение.
ivana2000: Да, но из закона Гука не следует (без математического доказательства), что в равновесии будет минимум энергии. Более того, энергия может оказаться не минимальной, а как раз максимальной, при том же равенстве сил.
Вася Пупкин 2014-10-01 09:56:40 пишет:
Ну, привяжем нашу точку к вершинам тремя одинаковыми резинками, у которых в ненатянутом состоянии нулевая длина. Энергии растяжения будут квадратами расстояний до вершин. Если энергия минимизирована, значит, силы в равновесии. Сталть, вектора из точки в вершины сделают треугольник. Сталть, наша точка -- центр тяжести треугольника(не из векторов, а исходного), сталть -- пересечение медиан.
P.S. Ivana2000, еще раз -- не могли бы Вы все же, как автор, пркомментировать задачу про веселого джентльмена?
ivana2000: Все это хорошо, но неплохо бы доказать, что будет минимум энергии, т.е. хотелось бы увидеть чисто математическое решение, из которого, вообще-то говоря, и будут следовать и минимум и нулевая сумма сил.
.
Насчет "джентльмена" - я помню, но пока еще думаю, т.к., мельком проглядев вашу перепалку с КоКосом, думаю, что чисто формально он прав в том, что действительно не указано какое среднее искать. Ладно, почитаю повнимательней, еще подумаю и чего-нибудь напишу. Ждите.
Продолжаем разговор :) Из предыдущего мысленного (кошко-)эксперимернта очевидно что при разложении по координатам мы по осям друг от друга НЕ зависим - значит можем искать с Любого направления, как нам удобно. Частный случай что три точки на одной прямой - не смотрю, пока лень, в Ином случае мы имеем Треугольник, и берём ось рассмотрения перпендикулярно одной из его сторон и решая не сложное уравнение получаем что наша точка будет находиться от этой грани на расстоянии одной трети расстояния от этой стороны до вершины треугольника. Это собственно и ответ - пересечение "однотретьих" линий параллельных сторонам треугольника, есть ли у этой точки какое-то ещё более красивое нахождение (точнее не является ли это 1/3 свойством чего-то более известного) - моя не знать, но и в Таком виде - разве не сгодится?
ivana2000: Как говорится, уравнение, пояснения и все в одном комментарии - в студию.
Так, тОлком пока не получается, но пока рабочая идея - разложить в координатах, квадрат расстояния как раз будет суммой квадратов иксов-игриков - а дальше надо ещё рисовать и подумать, если получится что-то путное потом отпишусь.