"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов. Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное. Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.

Задачи на логику и сообразительность




О сайте
Гостевая книга
ЧаВо

Пользователи
RSS

Поиск на сайте





запомнить меня
Зарегистрироваться


Задачи



Данетки


Текущие:

  «Геометрическая»
  Высказывание Ломоносова
  Наверное, не про яблоки
  Комерция
  Везде градусы
  Вагончик тронется, вагончик тронется..
  Спасибо медикам и католикам))
  Специальная купюра
  Студенческая смекалка
  Эллипс vs Круг
  Современные технологии. Немецкий стандарт.
  Спортивная
  философская
  Про газету
  печатная монета
  Купюра евро
  Древние изобретения
  Биометрические паспорта
  Новый глава
  В далеком созвездии тау Кита... 8)))
  Огородное
  Средневековое строительство
  Жестокое наказание
  Их нравы - 4
  Европейский стандарт

Разгаданные недавно:

  этот модный тандыр
  Из Что-Где-Когда
  Может ли такое быть?
  Что изображено?
  Да на тебе пахать надо!


Справочная



Признаки делимости
Площади фигур


Реклама






задача: Три точки + одна

Задачу прислал: ivana2000


Сложность: сложныеНайти точку, сумма квадратов расстояний от которой до трех заданных точек минимальна. Все точки лежат в одной плоскости.



Ответ





Решение задачи





Ваши ответы на задачу


ответов: 15

ivana2000 2014-10-09 16:23:05 пишет:
Смотрим картинку и вспоминаем про скалярное произведение:



X, Y, Z - векторы,

f - угол между векторами.

|X|=x - модуль (длина) вектора,

(X,Y)=|X||Y|*cos(f)=xy*cos(f),

(X,Y)=(Y,X),

(X,X)=X^2=x^2, т.к. f=0, cos(f)=1

(X+Y,Z)=(X,Z)+(Y,Z)



T1, T2, T3 - заданные точки.

W - искомая точка.

Векторы A и B совпадают с двумя сторонами треугольника T1T2T3, векторы X, Y, Z проводятся из T1 в W.


A+Z=X, B+Y=X, откуда Z=X-A, Y=X-B.

Пишем выражение для суммы квадратов

S=x^2 + y^2 + z^2 = X^2 + Y^2 + Z^2 =

X^2 + X^2 - 2(X,A) + A^2 + X^2 - 2(Y,B) + B^2=

3X^2 - 2(X,A+B) + A^2 + B^2



Выделяем полный квадрат.

S=3[X^2-2(X,(A+B)/3)+((A+B)/3)^2-((A+B)/3)^2]+A^2+B^2=

3[(X-(A+B)/3]^2 + A^2 + B^2 - (1/3)(A+B)^2=

(1/3)[(3X-A-B)^2 + 3A^2 + 3B^2 - (A+B)^2]. Далее,



3A^2+3B^2-(A+B)^2=3A^2+3B^2-A^2-B^2-2(A,B)=

A^2 + B^2 + A^2 + B^2 - 2(A,B)= A^2 + B^2 + (A-B)^2=

A^2+B^2+C^2=a^2 + b^2 + c^2, откуда



3S=(3X-A-B)^2 + a^2 + b^2 + c^2.



Опять смотрим картинку и строим вектор A+B по правилу параллелограмма.

Очевидно, что минимум 3S, равный a^2+b^2+c^2,

наблюдается при 3X=A+B, или X=(A+B)/3



Т.о., точка W лежит на медиане треугольника T1T2T3 на расстоянии 1/3 длины диагонали T1T4, или на расстоянии 2/3 длины самой медианы, от точки T1. Т.е. точка W совпадает с точкой пересечения медиан треугольника M, а сам минимум суммы равен

(a^2 + b^2 + c^2)/3



Из дополнительных построений (точки K, K1, M1), для тех, кто не помнит, можно легко доказать, что медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.




Вася Пупкин 2014-10-07 03:38:03 пишет:
Ага, эта плюшка, что-то плохое вылавливала в английском тексте, а я переключаться очень не люблю, от этого и пишу обычно словами. Тут во всем англисйком предложении с формулами пришлось-таки заменить текст на русский перевод...

Вася Пупкин 2014-10-07 03:35:08 пишет:
Ivana2000, да сколько ж можно-то. Пусть О -- таргет точка, а Х -- какая-то другая, X != 0, Ai -- вершины треугольника, i = 0,1,2. Sigma((XAi)^2) = Sigma((XO+OAi)^2) = Sigma((XO)^2+2*XO*OAi+(OAi)^2)= Sigma((OAi)^2) + 2*XO*Sigma(OAi) + 3*(XO)^2. В экстремуме линейная по ХО часть занулится, квадратичная по ХО часть так и так положительна, следовательно, Sigma(OAi) = 0 определяет именно минимум.
   ivana2000:

Вася Пупкин 2014-10-07 03:30:59 пишет:
Что-то уже второй раз послание с формулами пропадает.

KoKos 2014-10-06 12:18:10 пишет:
Хм? Ну так вон же - на радикале все символы скопом. :))) Там по ссылке большая читабельная картинка, это в комментарий я маленькую превьюшку прилепил, просто чтоб видно было, чего ожидать. :)
   ivana2000: Извиняюсь, не заметил.

ivana2000 2014-10-06 11:15:31 пишет:
Джентльмены!

Я понимаю, что вы тоже все понимаете. Но, может быть, кто-нибудь немного напряжется и напишет пару формул, заменив слова "сложить", "умножить", "квадрат" и.т.д, символами "+/-", "*/", "^2" и.т.д (шутка).

KoKos 2014-10-05 16:14:41 пишет:
K2, если заранее принять как данность тот факт, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 1:2 - то остальное доказывается проще пареной репы. ;)) Если мы продолжим СМ до пересечения с АВ, то получим нечто (а не медиану ли?), поделенное точкой М как раз в нужном отношении. Имея на руках все формулы с рисунка, то что СМ - именно медиана, доказывается из подобий треугольников.

K2 2014-10-05 14:57:20 пишет:
Ну про медианы-то уже было, вот только как Доказать что это они а не "случайное совпадение"?..

KoKos 2014-10-05 13:09:16 пишет:
Проба не удалась. :) Но таки что-то геометрическое в этой задаче есть. :))) Тройка в знаменателе вызвала смутные подозрения - пошел погуглил - так и есть. Искомая точка - так называемый центроид треугольника, а проще - точка пересечения его медиан. :)

KoKos 2014-10-05 12:49:52 пишет:
Проба. :))) Пройдет ли совсем красиво с радикала, или порежет фильтр? :))


KoKos 2014-10-05 12:48:39 пишет:
Долго носился с ошибочной, как оказалось, идеей, что искомая точка должна быть центром вписанной в треугольник окружности - навеяло "геометричностью" задачи. :)) В итоге задача оказалась чистой воды алгебраической. :)


http://s015.radikal.ru/i330/1410/cc/8be2b828e3e6.jpg


Без ограничения общности можем выбрать систему координат, как показано на рисунке. "Выродки" тривиальны и никакого особого интереса не представляют. Целевую сумму квадратов раскладываем на две покоординатные суммы соответствующих квадратиков. :) Поскольку координаты у нас совершенно независимы, то и каждую покоординатную сумму минимизируем отдельно - в результате получим минимум целевой суммы. каждая из покоординатных сумм представляет собой параболу, как функцию от координаты. Минимум параболы находится точно посередине между ее корнями. Воть и все, в общем... :)))

   ivana2000:

Вася Пупкин 2014-10-05 08:01:51 пишет:
ivana2000, экий Вы строгий милицанер. Ну ладно -- возьмем искомую точку О, и какую-нибудь еще Хы рядышком. Запишем векторы из Хы в вершины как сумму вектора из Хы в О и вектора из О в вершину. Теперь все их заквадратим. Получим, что сумма квадратов векторов из Хы есть сумма квадратов из О плюс три суммы квадрата ХыО плюс удвоенное произведение вектора ХыО на сумму векторов из О. Отличка от минимальной суммы, сталть -- трижды ХыО-квадрат плюс два ХыО*сумму из О. Поскольку мы в экстреме, линейная по ХыО часть должна занулиться(иначе, понятно, она вблизи О всегда забьет квадратичную), то бишь, сумма векторов из О есть нуль(то бишь, О и есть центр тяжести, то бишь, пересечение, медиан). Зачем всю эту было телегу выписывать, если есть закон Гука, дающий энергию как квадрат растяжения, а значит, и минимум ее, совпадающий с минимумом суммы квадратов, а значит, и равновесие -- я не очень понимаю, этот физический язык ничуть не менее строгий. Но воля(впрочем, как и задача) Ваша, написал "математически". По поводу джентльмена -- ну, "правота"-то меня вообще не очень интересовала, интересовало -- какое решение Вы знаете, как автор задачи. Но, кстати, забавно, что как раз в Вашей формулировке "что чисто формально он прав в том, что действительно не указано какое среднее искать" -- получается, что "прав" таки я, поскольку это именно мой пойнт был "не сказано точно, а потому давайте посмотрим, что легко считается". Но, поуторяю -- интересно, какое у Вас решение.
   ivana2000: Да, но из закона Гука не следует (без математического доказательства), что в равновесии будет минимум энергии. Более того, энергия может оказаться не минимальной, а как раз максимальной, при том же равенстве сил.

Вася Пупкин 2014-10-01 09:56:40 пишет:
Ну, привяжем нашу точку к вершинам тремя одинаковыми резинками, у которых в ненатянутом состоянии нулевая длина. Энергии растяжения будут квадратами расстояний до вершин. Если энергия минимизирована, значит, силы в равновесии. Сталть, вектора из точки в вершины сделают треугольник. Сталть, наша точка -- центр тяжести треугольника(не из векторов, а исходного), сталть -- пересечение медиан.


P.S. Ivana2000, еще раз -- не могли бы Вы все же, как автор, пркомментировать задачу про веселого джентльмена?
   ivana2000: Все это хорошо, но неплохо бы доказать, что будет минимум энергии, т.е. хотелось бы увидеть чисто математическое решение, из которого, вообще-то говоря, и будут следовать и минимум и нулевая сумма сил.


.
Насчет "джентльмена" - я помню, но пока еще думаю, т.к., мельком проглядев вашу перепалку с КоКосом, думаю, что чисто формально он прав в том, что действительно не указано какое среднее искать. Ладно, почитаю повнимательней, еще подумаю и чего-нибудь напишу. Ждите.

K2 2014-09-29 16:37:00 пишет:
Продолжаем разговор :) Из предыдущего мысленного (кошко-)эксперимернта очевидно что при разложении по координатам мы по осям друг от друга НЕ зависим - значит можем искать с Любого направления, как нам удобно. Частный случай что три точки на одной прямой - не смотрю, пока лень, в Ином случае мы имеем Треугольник, и берём ось рассмотрения перпендикулярно одной из его сторон и решая не сложное уравнение получаем что наша точка будет находиться от этой грани на расстоянии одной трети расстояния от этой стороны до вершины треугольника. Это собственно и ответ - пересечение "однотретьих" линий параллельных сторонам треугольника, есть ли у этой точки какое-то ещё более красивое нахождение (точнее не является ли это 1/3 свойством чего-то более известного) - моя не знать, но и в Таком виде - разве не сгодится?
   ivana2000: Как говорится, уравнение, пояснения и все в одном комментарии - в студию.

K2 2014-09-27 11:34:29 пишет:
Так, тОлком пока не получается, но пока рабочая идея - разложить в координатах, квадрат расстояния как раз будет суммой квадратов иксов-игриков - а дальше надо ещё рисовать и подумать, если получится что-то путное потом отпишусь.

Добавьте комментарий:
Автор:

Комментарий:

Пожалуйста, введите символы с картинки:
(подтверждение не требуется для зарегистрированных пользователей)



 





Обсуждаем

  Задача Черно-белый диск:
K2 : [скрыто]
KoKos : [скрыто]
Задача Ошеломительный Закат:
jonson-72 : [скрыто]
R-2: Не вижу ничего необычного. Сначала появилась задача, но решать было лень. Надеялся, кто-нибудь помож...
Задача ППП, ППК, ПКК, ПП:
не представился : [скрыто]
Админ: надо обосновать
Задача Буквы в химии:
Li : [решил задачу]
не представился : [решил задачу]
Задача Ошеломительный Закат:
R-2 : [скрыто]
R-2: Нет. Задача сложная и не линейная. Когда солнце скрылось на одну секунду, подняться достаточно совсе...
K2 : [скрыто]
ivana2000 : [скрыто]
R-2: Ну, например, 26°05′23″ с. ш. 81°43′30″ з. д
Гостевая книга:
K2 : Не знаю чего меня сюда занесло, да ещё и отмотало года на полтора назад, но. Подборка про узлы - оч...
Задача Азартный баскетбол:
KoKos : [скрыто]
ivana2000 : [скрыто]
KoKos : [скрыто]
KoKos : [скрыто]
K2 : [скрыто]



Реклама



© 2009-201x Логические задачи