"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов. Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное. Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.

Задачи на логику и сообразительность




О сайте
Гостевая книга
ЧаВо

Пользователи
RSS

Поиск на сайте





запомнить меня
Зарегистрироваться


Задачи



Данетки


Текущие:

  «Геометрическая»
  Высказывание Ломоносова
  Наверное, не про яблоки
  Комерция
  Везде градусы
  Вагончик тронется, вагончик тронется..
  Спасибо медикам и католикам))
  Специальная купюра
  Студенческая смекалка
  Эллипс vs Круг
  Современные технологии. Немецкий стандарт.
  Спортивная
  философская
  Про газету
  печатная монета
  Купюра евро
  Древние изобретения
  Биометрические паспорта
  Новый глава
  В далеком созвездии тау Кита... 8)))
  Огородное
  Средневековое строительство
  Жестокое наказание
  Их нравы - 4
  Европейский стандарт

Разгаданные недавно:

  этот модный тандыр
  Из Что-Где-Когда
  Может ли такое быть?
  Что изображено?
  Да на тебе пахать надо!


Справочная



Признаки делимости
Площади фигур


Реклама






задача: Квадрат-2, или логика 436

Задачу прислал: KoKos


Сложность: сложныеВ ответ на задачу Квадрат - необходимо найти минимум итоговой суммы при прочих аналогичных условиях - квадрат 4х4 заполнен различными натуральными числами от 1 до 16. Итоговая сумма складывается из произведений всех чисел в каждом столбце и в каждой строке.



Ответ



Может, и неправильный, :))) но мой ответ 17178

Решение задачи



Просто любопытно. :)) Свой ответ я так и не доказал, поэтому принимаются три варианта: - меньшая сумма без всяких доказательств, но с точно приведенной расстановкой чисел - которую можно легко проверить. ;) - равная сумма, можно без самой расстановки, НО тогда обязательно с обоснованием логики, а если еще и со строгим доказательством, - так и вовсе "класс!" :))) - равная сумма подбором тоже принимается, если с приведенной расстановкой, - хоть это и далеко не столь интересно. :)

Ваши ответы на задачу


ответов: 10

ivana2000 2013-03-15 13:15:04 пишет:
Все очень просто. Есть неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим. Из него есть два следствия: если сумма положительных множителей постоянна, то то их произведение имеет максимум при равенстве слагаемых, и наоборот, если произведение множителей постоянно, то их сумма имеет минимум при равенстве множителей.\n
В данном случае имеем сумму из 2*N слагаемых, произведение которых в отдельности по строкам и по солбцам равно произведению чисел от 1 до N^2 т.е. N^2!, откуда полное произведение равно\n
(N^2!)^2. Далее запишем неравенство средних:\n
S/(2*N)>=sqrt(2N,(N^2!)^2)=sqrt(N,N^2!), или
S>=2*N*sqrt(N,N^2!). Т.к. при фиксированном N N^2! постоянно, то S имеет минимум, равный\n
Smin=2*N*sqrt(N,N^2!), и достигаемый при равенстве между собой всех слагаемых, входящих в эту сумму.\n
Далее, из равенства слагаемых можно попытаться изобрести и алгоритм перебора. Например, для N=3 у меня получилось, что должны быть равны числа, расположенные симметрично главной диагонали. Естественно, придется подставлять не равные, а близкие числа.\n
Остается открытым вопрос: стремится ли Smin к реальному минимуму? Над этим можно подумать, хотя, похоже на то. Если принять комбинацию, найденную Reds правильной, то\n
SRmin/Smin~1.000117.
   KoKos: Спасибо, но гляну уже завтра, сорри. У нас тут дурдомчик - за день выпала полуторамесячная норма осадков в виде снега (ага, посреди марта 8))). По нету валяются уже картинки, как народ толкает автобусы... 8))) Так что я совершенно устамши и не в состоянии сейчас вообще думать. :( --- Добавлено: глянул. :) Да, все сходится, засчитываем такую оценку. :) Осталось и впрямь придумать еще и алгоритм. :)))

ivana2000 2013-03-15 06:10:00 пишет:
Небольшое примечание:\n
Т.к. количество комбинаций конечно, то кто бы оценил максимум такой суммы.

ivana2000 2013-03-15 05:59:28 пишет:
В случае квадрата NxN, абсолютный минимум подобной суммы равен:\n
Smin(N)=2*N*sqrt(N,N^2!) и достигается при равенстве всех произведений. Похоже, что с увеличением N реальный минимум,\n
SRmin(N), стремится к величине Smin(N).
\n\n
Так, в предыдущей задаче:\n
SRmin(3)=436\n
Smin(3)=2*3*sqrt(3,9!)~427.96\n
SRmin(3)/Smin(3)~1.0188\n
В этой задаче:\n
SRmin(4)=17178 (ответ KoKosа)\n
Smin(4)=2*4*sqrt(4,16!)~17109.80\n
SRmin(4)/Smin(4)~1.00399\n
Ну, а исходя из равенства сумм, можно придумать какой-нибудь алгоритм перебора.
   KoKos: 8) Вау!!! Очень похоже на правду, но, если Вам не жалко, - можно ли чуть подробнее? Откуда именно там вылазит корень энной степени из факториала? 8) А то я то ли просто не проснулся еще толком, то ли торможу... Обещаю доказанную оценку абсолютного минимума тоже засчитать за решение - она того вполне достойна. :)))

Reds 2013-03-14 14:21:19 пишет:
Ну подбор конечно, но через призму максимально равных значений всех произведений в строках и столбцах, с разнесением максимальных и минимальных чисел.

Reds 2013-03-14 12:15:42 пишет:
Интересно, что в последнем случае сумма произведений столбцов уровнялась с суммой произведений строк (8556).
   KoKos: Принимается! :) Обидно, конечно, что логика-436 оказалась таки ошибочной... Но с другой стороны есть целых два положительных момента. :))) Во-первых, спасибо автору оригинальной задачи за его ошибку - она мне сэкономила несколько отламываний головы... XD XD XD А во-вторых спасибо Вам за любопытное наблюдение. Ведь и в оригинальной задаче тоже уравниваются в минимуме, а я это свойство как-то прохлопал. Надо подумать - может именно из него что-то общее вытянется? :)

Reds 2013-03-14 12:09:47 пишет:
Интересно, получится ли замахнуться на 16... : 2 15 9 8; 12 1 16 11; 13 14 3 4; 7 10 5 6. итого 17112

Reds 2013-03-14 11:52:53 пишет:
Бесконечный процесс :-) По рядам: 2 15 8 9; 11 1 16 12; 13 14 3 4; 7 10 6 5. итого 17122

Reds 2013-03-14 11:48:45 пишет:
Будем отыгрывать по кусочку :-) По рядам: 2 14 8 9; 13 1 16 11; 12 15 3 4; 7 10 6 5. итого 17132

Reds 2013-03-14 11:28:15 пишет:
UP. по рядам: 2 13 7 12; 14 1 16 10; 9 15 3 5; 8 11 6 4. итого 17138

Reds 2013-03-14 11:26:12 пишет:
по рядам: 2 14 7 12; 13 1 16 10; 9 15 3 5; 8 11 6 4. итого 17167

Добавьте комментарий:
Автор:

Комментарий:

Пожалуйста, введите символы с картинки:
(подтверждение не требуется для зарегистрированных пользователей)



 





Обсуждаем

  Задача Два момента:
Vladius : [скрыто]
Задача Расставить знаки математических операций:
Вика : [скрыто]
Задача Вопросительное предложение:
Vladius : [скрыто]
Задача Задача про рабочих:
Vladius : [скрыто]
Vladius : [скрыто]
Задача 1 рубль = 1 копейке:
Vladius : [скрыто]
Задача Вот в полу открылся люк ...:
bobo : [решил задачу]
Задача Квадрат 4x4:
не представился : [скрыто]
Задача Дефект масс:
R-2 : [скрыто]
Задача Некормленые марсиане:
jonson-72 : [решил задачу]
KoKos : [решил задачу]
Задача Опять собеседование в Яндекс:
не представился : [скрыто]
Задача Механика -2:
jonson-72 : [скрыто]
Задача Некормленые марсиане:
не представился : [решил задачу]
Задача Механика -2:
R-2 : [скрыто]



Реклама



© 2009-201x Логические задачи