Логические задачи : Квадрат-2, или логика 436

	"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов. Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное. Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.
Задачи на логику и сообразительность
Главная \| О проекте \| Все задачи-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C \| Добавить задачу

О сайте
Гостевая книга
ЧаВо

Пользователи
RSS

Поиск на сайте

запомнить меня

Задачи

Переливания и взвешивания

Теорвер, комбинаторика

Задания на наблюдательность

требуется помощь

Чисто поржать

Детские с подковыркой

Данетки

Текущие:

  Мой любимый грех (с)
  Математика в архитектуре
  Не сыпь мне соль на рану
  «Геометрическая»
  Высказывание Ломоносова
  Наверное, не про яблоки
  Комерция
  Везде градусы
  Вагончик тронется, вагончик тронется..
  Спасибо медикам и католикам))
  Специальная купюра
  Студенческая смекалка
  Эллипс vs Круг
  Современные технологии. Немецкий стандарт.
  Спортивная
  философская
  Про газету
  печатная монета
  Купюра евро
  Древние изобретения
  Биометрические паспорта
  Новый глава
  В далеком созвездии тау Кита... 8)))
  Огородное
  Средневековое строительство
  Жестокое наказание
  Их нравы - 4
  Европейский стандарт

Разгаданные недавно:

  этот модный тандыр
  Из Что-Где-Когда
  Может ли такое быть?
  Что изображено?
  Да на тебе пахать надо!

Справочная

Признаки делимости
Площади фигур

Реклама

Версия для смартфонов

задача: Квадрат-2, или логика 436

Задачу прислал: KoKos

В ответ на задачу Квадрат - необходимо найти минимум итоговой суммы при прочих аналогичных условиях - квадрат 4х4 заполнен различными натуральными числами от 1 до 16. Итоговая сумма складывается из произведений всех чисел в каждом столбце и в каждой строке.


+ 0 -

Ответ

Может, и неправильный, :))) но мой ответ 17178

Решение задачи

Просто любопытно. :)) Свой ответ я так и не доказал, поэтому принимаются три варианта: - меньшая сумма без всяких доказательств, но с точно приведенной расстановкой чисел - которую можно легко проверить. ;) - равная сумма, можно без самой расстановки, НО тогда обязательно с обоснованием логики, а если еще и со строгим доказательством, - так и вовсе "класс!" :))) - равная сумма подбором тоже принимается, если с приведенной расстановкой, - хоть это и далеко не столь интересно. :)

Ваши ответы на задачу

ответов: 10

ivana2000 2013-03-15 13:15:04 пишет:

Все очень просто. Есть неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим. Из него есть два следствия: если сумма положительных множителей постоянна, то то их произведение имеет максимум при равенстве слагаемых, и наоборот, если произведение множителей постоянно, то их сумма имеет минимум при равенстве множителей.\n
В данном случае имеем сумму из 2*N слагаемых, произведение которых в отдельности по строкам и по солбцам равно произведению чисел от 1 до N^2 т.е. N^2!, откуда полное произведение равно\n
(N^2!)^2. Далее запишем неравенство средних:\n
S/(2*N)>=sqrt(2N,(N^2!)^2)=sqrt(N,N^2!), или
S>=2*N*sqrt(N,N^2!). Т.к. при фиксированном N N^2! постоянно, то S имеет минимум, равный\n
Smin=2*N*sqrt(N,N^2!), и достигаемый при равенстве между собой всех слагаемых, входящих в эту сумму.\n
Далее, из равенства слагаемых можно попытаться изобрести и алгоритм перебора. Например, для N=3 у меня получилось, что должны быть равны числа, расположенные симметрично главной диагонали. Естественно, придется подставлять не равные, а близкие числа.\n
Остается открытым вопрос: стремится ли Smin к реальному минимуму? Над этим можно подумать, хотя, похоже на то. Если принять комбинацию, найденную Reds правильной, то\n
SRmin/Smin~1.000117.

KoKos: Спасибо, но гляну уже завтра, сорри. У нас тут дурдомчик - за день выпала полуторамесячная норма осадков в виде снега (ага, посреди марта 8))). По нету валяются уже картинки, как народ толкает автобусы... 8))) Так что я совершенно устамши и не в состоянии сейчас вообще думать. :( --- Добавлено: глянул. :) Да, все сходится, засчитываем такую оценку. :) Осталось и впрямь придумать еще и алгоритм. :)))

ivana2000 2013-03-15 06:10:00 пишет:

Небольшое примечание:\n
Т.к. количество комбинаций конечно, то кто бы оценил максимум такой суммы.

ivana2000 2013-03-15 05:59:28 пишет:

В случае квадрата NxN, абсолютный минимум подобной суммы равен:\n
Smin(N)=2*N*sqrt(N,N^2!) и достигается при равенстве всех произведений. Похоже, что с увеличением N реальный минимум,\n
SRmin(N), стремится к величине Smin(N).
\n\n
Так, в предыдущей задаче:\n
SRmin(3)=436\n
Smin(3)=2*3*sqrt(3,9!)~427.96\n
SRmin(3)/Smin(3)~1.0188\n
В этой задаче:\n
SRmin(4)=17178 (ответ KoKosа)\n
Smin(4)=2*4*sqrt(4,16!)~17109.80\n
SRmin(4)/Smin(4)~1.00399\n
Ну, а исходя из равенства сумм, можно придумать какой-нибудь алгоритм перебора.

KoKos: 8) Вау!!! Очень похоже на правду, но, если Вам не жалко, - можно ли чуть подробнее? Откуда именно там вылазит корень энной степени из факториала? 8) А то я то ли просто не проснулся еще толком, то ли торможу... Обещаю доказанную оценку абсолютного минимума тоже засчитать за решение - она того вполне достойна. :)))

Reds 2013-03-14 14:21:19 пишет:

Ну подбор конечно, но через призму максимально равных значений всех произведений в строках и столбцах, с разнесением максимальных и минимальных чисел.

Reds 2013-03-14 12:15:42 пишет:

Интересно, что в последнем случае сумма произведений столбцов уровнялась с суммой произведений строк (8556).

KoKos: Принимается! :) Обидно, конечно, что логика-436 оказалась таки ошибочной... Но с другой стороны есть целых два положительных момента. :))) Во-первых, спасибо автору оригинальной задачи за его ошибку - она мне сэкономила несколько отламываний головы... XD XD XD А во-вторых спасибо Вам за любопытное наблюдение. Ведь и в оригинальной задаче тоже уравниваются в минимуме, а я это свойство как-то прохлопал. Надо подумать - может именно из него что-то общее вытянется? :)

Reds 2013-03-14 12:09:47 пишет:

Интересно, получится ли замахнуться на 16... : 2 15 9 8; 12 1 16 11; 13 14 3 4; 7 10 5 6. итого 17112

Reds 2013-03-14 11:52:53 пишет:

Бесконечный процесс :-) По рядам: 2 15 8 9; 11 1 16 12; 13 14 3 4; 7 10 6 5. итого 17122

Reds 2013-03-14 11:48:45 пишет:

Будем отыгрывать по кусочку :-) По рядам: 2 14 8 9; 13 1 16 11; 12 15 3 4; 7 10 6 5. итого 17132

Reds 2013-03-14 11:28:15 пишет:

UP. по рядам: 2 13 7 12; 14 1 16 10; 9 15 3 5; 8 11 6 4. итого 17138

Reds 2013-03-14 11:26:12 пишет:

по рядам: 2 14 7 12; 13 1 16 10; 9 15 3 5; 8 11 6 4. итого 17167

Добавьте комментарий:

Обсуждаем

Задача Разрезанный треугольник:
http://lprobs.ru/img/yes.gif : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : Это было в 1913 году. Одиннадцатилетняя девочка, пансионерка Московской Ржевской гимназии очень прос...
Задача Гора.:
Xuzke : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : В школе все казалось правильным. Из математики следует физика, из физики следует химия, из химии сле...
R-2 : Ты решил: Ну, и наконец, то решение, которое тут видимо предполагается в идеале, я не буду говори...
Так, по старой памяти заглянул :) : R-2, условие неплохо бы конкретизировать. ;)) А то так вариантов может быть масса, хотя все обладают...
Задача 4 хода:
колд : [скрыто]
Задача Кот и мышка:
Дмитрий : [скрыто]
Задача Черная Жемчужина:
mskfirst : [скрыто]
Задача Квадратный торт:
не представился : [скрыто]
Задача Задача с ведрами: 9 и 4 = 6.:
ИносОйЧанбин : [скрыто]
Дкгк7 : [скрыто]
Задача Геометрическая 3:
не представился : [скрыто]
Алексей : [скрыто]
Гостевая книга:
R-2 : Дано: листочек бумаги и ручка. На листочке написаны три нуля. О О О Задача: «как из трёх нулей...

Реклама

© 2009-201x Логические задачи

Задачи на логику и сообразительность

Поиск на сайте

Задачи

Данетки

Справочная

Реклама

задача: Квадрат-2, или логика 436

Ответ

Решение задачи

Ваши ответы на задачу

Обсуждаем

Реклама