"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов.
Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное.
Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.
:))) Плавно переходим в семеричную систему счисления... ;) Какое значение может иметь младший разряд квадрата произвольного целого? 0->0, 1->1, 2->4, 3->2, 4->2, 5->4, 6->1. Всего четыре *разных* возможных значения младшего разряда квадрата. Значит, среди пяти произвольных квадратов обязательно найдутся как минимум два таких, у которых значения младшего разряда совпадут. Их-то и вычтем друг из дружки. ;) Получив ноль в младшем разряде числа в семеричной системе, мы гарантируем делимость результата на семь. ;)
Админ:
ivana2000 2013-01-07 23:02:20 пишет:
Любое целое можно представить в виде 7*A+p, A-целая часть, p-остаток (0…6). Возводя в квадрат, получаем 49*A^2+14*A*p+p^2. Перебирая p от 0 до 6, получим, что квадрат целого при делении на 7 может иметь остатки 0, 1, 2, 4, т.е. всего четыре остатка. Отсюда ясно, что из пяти квадратов целых чисел, хотя бы у двух остатки от деления на 7 совпадут
Админ:
Вася Пупкин 2013-01-07 08:08:36 пишет:
Виноват, неаккуратненько изложил. Ноль, конечно же, запрещает только себя. Но это ничего не меняет, так и так, используя его и по одному из трех пар((1,6), (2,5) и (3,4)), мы заполним только четыре дырки, и для пятой в любом случае придется юзать запрещенное значение. В общем случае для любого нечетного простого Пы в наборе из Хы(Пы)=((Пы-1)/2)+2) целых чисел всегда найдется хотя бы одна пара с разностью квадратов, кратной Пы. Для Пы равного двойке, понятное дело, это самое Хы(2)=3.
Админ: исчерпывающе
Вася Пупкин 2013-01-07 04:52:48 пишет:
Верно. Докажем от противного -- предположим, что неверно, и найдется пятерка, не удовлетворяющая условию. Разность квадратов -- это произведение суммы и разности. Итак, ни одна из них(разностей квадратов) не должна зануляться по модулю 7. Ограничение на разность, сталть, запрещает нам совпадение наших чисел по модулю семь. Сталть, на пять чисел есть у нас семь возможных значений по модулю 7. Выберем одно, и присвоим первому. Теперь для остальных запрещено оно, и, по ограничению на сумму, 7 минус оно. Ну, и так далее. Попросту -- каждое число К(все по модулю, естественно) запрещает для дальнейшего использования два: К и 7 - К. Требуется пять чисел, а допустимых значений только семь, при вычерке по две на рыло последние два числа окажутся с одним возможным значением. Сталть, исходное предположение(о неверности) ложно.