Логические задачи : треугольник-квадрат 2

	"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов. Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное. Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.
Задачи на логику и сообразительность
Главная \| О проекте \| Все задачи-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C \| Добавить задачу

О сайте
Гостевая книга
ЧаВо

Пользователи
RSS

Поиск на сайте

запомнить меня

Задачи

Переливания и взвешивания

Теорвер, комбинаторика

Задания на наблюдательность

требуется помощь

Чисто поржать

Детские с подковыркой

Данетки

Текущие:

  Мой любимый грех (с)
  Математика в архитектуре
  Не сыпь мне соль на рану
  «Геометрическая»
  Высказывание Ломоносова
  Наверное, не про яблоки
  Комерция
  Везде градусы
  Вагончик тронется, вагончик тронется..
  Спасибо медикам и католикам))
  Специальная купюра
  Студенческая смекалка
  Эллипс vs Круг
  Современные технологии. Немецкий стандарт.
  Спортивная
  философская
  Про газету
  печатная монета
  Купюра евро
  Древние изобретения
  Биометрические паспорта
  Новый глава
  В далеком созвездии тау Кита... 8)))
  Огородное
  Средневековое строительство
  Жестокое наказание
  Их нравы - 4
  Европейский стандарт

Разгаданные недавно:

  этот модный тандыр
  Из Что-Где-Когда
  Может ли такое быть?
  Что изображено?
  Да на тебе пахать надо!

Справочная

Признаки делимости
Площади фигур

Реклама

Версия для смартфонов

задача: треугольник-квадрат 2

Задачу прислал: Вадим Любимов

Верно ли, что любой треугольник можно разрезать на конечное число частей, из которых можно сложить прямоугольник? А если треугольник равносторонний и вместо прямоугольника квадрат? А если разрезать на только 1000 частей? (Начало обсуждения этой задачи смотрите в "треугольнике-квадрате".)


+ -1 -

решение

Ваши ответы на задачу

ответов: 20

Вася Пупкин 2012-06-06 05:51:09 пишет:

Вадим, спасибо за разбор и критику. Насчет внутренних высот -- меа кульпа, проскочил, не думая(и спасибо еще раз Кокосу за немедленную подножку). Почему я так уперся в получение корня из ab? Да просто, к стыду и удивлению своему, вдруг понял, что никогда не знал и не пытался понять, решаема ли вообще эта задача. Ну, и радостно уплыл в циркули и линейки. А сказать просто "отложим отрезок, равный корню" мне показалось несколько нечестно -- хе-хе, отложим, а ты отложи... Ну, вот и поехало -- и мне все равно кажется, что именно это и есть ключевой момент: получи сторону искомого квадрата, а там так или иначе дальше само пойдет. Насчет разрезов неуставного квазиквадрата -- о да, это очень красиво, про произвольные высоты полосок. Такой дополнительный кайф от свободы, -- и таки второй ключевой момент Про равносторонний треуголник и разрез по высоте -- да, если надо оставаться в плоскости, то я погорячился, сорри. Насчет кролика -- это было по поводу решения 228, очень красивого и никак не выводимого -- вот надо как-то уметь увидеть, я и позавидовал, сам не умею.

KoKos 2012-06-04 18:14:02 пишет:

Вадим, а вот тут Вы неправы уже вдвойне. Во-превых, никаких ограничений на использование третьего измерения никто не накладывал? Или я что-то пропустил опять? ;) Во-вторых, понятие конгруэнтности таки да, включает в себя и симметрию тоже. ;)

Вадим Любимов 2012-06-04 17:56:00 пишет:

Я это знаю, KoKos, но так делать категорически нельзя, соответствующие части в равносоставленных фигурах должны быть конгруэнтны, а две половинки нашего треугольника симметричны, но не конгруэнтны.

KoKos 2012-06-04 17:32:03 пишет:

Вадим, в пункте "2" Вы таки да, несколько переутомились? :) Равносторонний треугольник разрезается по высоте и одна из частей переворачивается (ну... да, только через третье измерение, конечно же 8))) После чего обе части складываются неразрезанными сторонами вместе.

Вадим Любимов 2012-06-04 17:21:00 пишет:

4) Главная (блестящая) идея Вашего доказательства состоит в том, чтобы сначала (а) прямоугольник настругать в "квази-квадрат" (т.е. параллелограмм, у которого одна из сторон равна опущенной на неё высоте, мой термин), и затем (б) квази-квадрат настругать в квадрат. Вы совершенно правильно выполняете часть (а) (более сложную) с помощью одного разреза. Однако неверно утверждаете, что часть (б) тоже можно выполнить за один разрез. На самом деле, это возможно сделать только в случае, когда у квази-квадрата эта самая высота внутренняя (для простоты будем рассматривать только высоты, исходящие из тупых углов). В противном случае часть (б) тоже выполнима, но количество разрезов обязательно >1 и может быть сколь угодно большим, в зависимости от узости квази-квадрата. Вот как это можно просто и строго сделать. Обозначим эту самую высоту и сторону, на которую она опущена, через H и X, соответственно. Разрежем (как нравится) наш квази-квадрат параллельно стороне X на несколько параллелограммов таким образом, чтобы в каждом из них высота, параллельная H, была внутренней. Разрезом по этой высоте преобразуем каждый из них в прямоугольник. У полученных прямоугольников будет одинаковая "ширина" |X|, а сумма их "высот" будет |H|. Составим из них прямоугольник размера |X|x|H|, который и будет квадратом, поскольку |X| = |H|. (То что Вы мелко промахнулись в таком непростом решении само по себе не удивительно, но меня удивило то, что Вы сразу не заметили явного противоречия своего результата с решением первоначальной задачи "треугольник-квадрат", в котором чётко показано, что для преобразования произвольного (узкого) треугольника в квадрат может понадобиться сколь угодно много частей. Это противоречие видно без всякого анализа Вашего решения, и KoKos справедливо, хоть и не конструктивно, Вам по сути на это указал. Я бы сравнил это противоречие не с кроликом в кустах, а со слоном на дороге :). А кролик, которого Вы сами потом нашли, состоял в том, что слон этот надувной. Моя скромная роль в том, что я показал простой способ (до которого, я уверен, Вы бы легко додумались сами), как конкретно сдуть этого слона :)). (Я ещё не закончил со своими замечаниями к Вам, не надейтесь :), но вынужден сейчас на несколько часов удалиться, извините, продолжу когда вернусь, hold on...)

Вадим Любимов 2012-06-04 17:09:21 пишет:

3) По загадочной для меня причине (при Вашем предельно лаконичном стиле изложения :)) Вы посвящаете немалую часть своего решения построению с помощью циркуля и линейки корня из ab. Ошибки там у Вас нет, и это действительно интересно узнать, но это совершенно не нужно для решения задачи, только загромождает его и может легко сбить с толку неискушённого читателя :).

Вадим Любимов 2012-06-04 17:06:32 пишет:

2) Вы пишите: "Если треугольник равносторонний -- получаем прямоугольник одним разрезом по высоте..." Но это очевидно невозможно! Подумайте сами почему :). Только прямоугольные треугольники одним разрезом можно перевести в параллелограмм. Или я переутомился больше Вас? :))

Вадим Любимов 2012-06-04 16:58:32 пишет:

1) Вы правильно "настругиваете" произвольный треугольник в прямоугольник: "Треугольник разрезом по средней линии переведём в параллелограмм. Параллелограмм разрезом по высоте переведём в прямоугольник." Однако, для полной строгости здесь можно уточнить, что эта высота обязательно должна быть внутренней (т.е. полностью находиться внутри параллелограмма) и что внутренняя высота всегда существует. А именно, хотя бы одна из двух высот исходящих из тупой вершины параллелограмма внутренняя (аналогично, хотя бы одна из двух высот исходящих из острой вершины внешняя). (Кстати, именно из-за неучёта этого условия "внутренности высоты" у Вас и возникла промашка в конце решения, но об этом позже.)

Вадим Любимов 2012-06-04 16:48:40 пишет:

Итак, Вася, Ваше решение в целом правильное, за исключением этой небольшой (по сравнению с главной идеей!) промашки в конце (выше расскажу конкретно, как её несложно исправить). Поздравляю! Кроме того, у меня к Вам есть ещё несколько замечаний, в частности, по паре мелких неверных утверждений, которые Вы обронили по дороге. Но давайте всё по-порядку...

Вася Пупкин 2012-06-01 19:25:20 пишет:

Кокос, да, это я малость про... короче, понятно. Действительно, прямоугольник(а значит, и исходный треугольник) не должен быть слишком узким -- чтобы треугольник со стороной и "ее" высотой, равными корню, не был тупоугольным. Это ничего: нарисуем этот самый наш таргетный параллелограмм со стороной и высотой, на нее опущенной, равными нашим корням, и будем класть в него нашу макаронину кусками, пока не заполнит все -- я приблизительно объясняю, но думаю, что идея понятна, сейчас нет ни времени, ни сил, ни бумажки, и вряд ли до понедельника образуются все вместе. Но это отвечает на мой исходный вопрос к Вадиму, про тысячу кусков. Вадим, беру вопрос назад, извините за тупость. 228, браво! Вы орел. По-черному завидую, никогда не умел находить таких кроликов в кустах.

Вадим Любимов 2012-06-01 15:31:07 пишет:

Позже прокомментирую Васино решение и замечания KoKosa, а также постараюсь подвести итоги...

Вадим Любимов 2012-06-01 15:26:42 пишет:

228, хотел перерисовать Ваш эскиз более аккуратно и с пояснениями размеров частей, но слишком сейчас занят и пока не успел, извините. Выставляю его пока почти как есть, чтобы не терять темп (только переформатировал его из bmp в gif и обрезал ненужные поля, чтобы можно было его сюда вставить, а также немного вытянул в высоту чтобы из ромба получился таки квадрат :)).

KoKos 2012-06-01 11:27:14 пишет:

Вася Пупкин, в той части, что описывает сложение квадрата из прямоугольника, у Вас хомутец. Не получится там за два действия. ;) Смотрите сами - прямоугольник 100х1 , квадрат, соответственно, 10х10 . И как? 8) А тысяча чертей, тьфу частей, :))) уже оказывается нужна для прямоугольника 10000х0.01 - но и ее уже не хватит для прямоугольника 100000х0.001

228 2012-05-31 23:22:00 пишет:

Вадим, эскиз отправил. Теперь к вопросу №1: любые два многоугольника равной площади равносоставлены. Был такой венгерский математик, который в 18...каком-то году доказал эту теорему. Остается определить минимальное количество частей для двух конкретных многоугольников

KoKos 2012-05-31 23:19:44 пишет:

Не в качестве "поспорить", а в качестве "уточнить" (как обычно ;) - прямоугольник из треугольника можно делать произвольный? Или нужно сделать наперед заданный (естественно при соблюдении равенства площадей)?

Вася Пупкин 2012-05-31 20:16:10 пишет:

Треугольник разрезом по средней линии переведем в параллелограмм. Параллелограмм разрезом по высоте переведем в прямоугольник. Прямоугольник переводим в квадрат: отложим рядом обе стороны, поделим пополам, проведем окружность с радиусом (a+b)/2. Из точки соприкосновения двух отрезков восстановим перпендикуляр к диаметру до пересечения с окружностью, и в точку пересечения проведем радиус. Получим прямоугольный треугольник с гипотенузой (а+b)/2 и одним из катетов (a-b)/2, значит, второй катет равен корню из ab. Вернемся к нашему прямоугольнику и отрежем от него прямоугольный треугольник с гипотенузой sqrt(ab) и катетом а(а<b). Перетащим его, сделав опять параллелограмм. У этого нового орла -- одна из сторон и высота, опущенная нее, будут равны sqrt(ab)(для док-ва посмотрим в нашем исходном прямоугольнике на треугольник с основанием b, высотой а и одной из сторон sqrt(ab): его площадь есть ab/2). Режем последний раз, перетаскиваем, получаем квадрат. Если треугольник равностронний -- получаем прямоугольник одним разрезом по высоте, и поехали дальше как выше(может, можно и проще, но лень). Что за 1000 частей -- не понял: можно, конечно, после квадратирования одну из получившихся частей перед перекладыванием разрезать на сколько угодно, чтобы в результате число частей составило тысячу.

Вадим Любимов 2012-05-31 15:27:30 пишет:

228, картинка должна состоять не более чем из 1000000 pixels и не превышать 64 kb, но даже при этих условиях картинка не всегда вставляется. Если у вас проблема вставить/нарисовать картинку, пришлите мне её в любом понятном виде (например, как просканированный рисунок) на vadim.lioubimov на gmail.com и я её переформатирую и вставлю (если нужно, красиво перерисую :)).

Вадим Любимов 2012-05-31 15:26:19 пишет:

228, В вопросах 1 и 2 число частей, конечно же, ни чем заранее неограниченно. То есть, оно может быть сколь угодно большим, но не бесконечным. Вопрос 3 относится к обоим вопросам 1 и 2, т.е. всего у меня 4 вопроса.

228 2012-05-31 10:20:39 пишет:

п.2 оговорюсь, что только при разрезании равност. треугольника на 4 части,...как вставить картинку?

Админ: чтобы иметь возможность вставить картинку, надо зарегистрироваться.

228 2012-05-31 10:09:50 пишет:

ну начну чтоли:
1. если конечное число частей заранее неограниченно, то можно
2. можно всегда
3. здесь речь о любом треугольнике и прямоугольнике или же о равностороннем треугольнике и квадрате?

Добавьте комментарий:

Обсуждаем

Задача Разрезанный треугольник:
http://lprobs.ru/img/yes.gif : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : Это было в 1913 году. Одиннадцатилетняя девочка, пансионерка Московской Ржевской гимназии очень прос...
Задача Гора.:
Xuzke : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : В школе все казалось правильным. Из математики следует физика, из физики следует химия, из химии сле...
R-2 : Ты решил: Ну, и наконец, то решение, которое тут видимо предполагается в идеале, я не буду говори...
Так, по старой памяти заглянул :) : R-2, условие неплохо бы конкретизировать. ;)) А то так вариантов может быть масса, хотя все обладают...
Задача 4 хода:
колд : [скрыто]
Задача Кот и мышка:
Дмитрий : [скрыто]
Задача Черная Жемчужина:
mskfirst : [скрыто]
Задача Квадратный торт:
не представился : [скрыто]
Задача Задача с ведрами: 9 и 4 = 6.:
ИносОйЧанбин : [скрыто]
Дкгк7 : [скрыто]
Задача Геометрическая 3:
не представился : [скрыто]
Алексей : [скрыто]
Гостевая книга:
R-2 : Дано: листочек бумаги и ручка. На листочке написаны три нуля. О О О Задача: «как из трёх нулей...

Реклама

© 2009-201x Логические задачи

Задачи на логику и сообразительность

Поиск на сайте

Задачи

Данетки

Справочная

Реклама

задача: треугольник-квадрат 2

Ваши ответы на задачу

Обсуждаем

Реклама