"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов. Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное. Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.

Задачи на логику и сообразительность

Главная | О проекте | Все задачи-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C | Добавить задачу



О сайте
Гостевая книга
ЧаВо

Пользователи
RSS

Поиск на сайте





запомнить меня
Зарегистрироваться


Задачи

Логические
Математические
С подвохом
Переправа
Переливания и взвешивания
Даты
Физика вокруг
Последовательности
Честные и лжецы
Слова и буквы
Теорвер, комбинаторика
Геометрические
Вопросы на эрудицию
Стратегии
Шахматы
Задания на наблюдательность
требуется помощь
Чисто поржать
Детские с подковыркой
Спички
Детективные
Ребусы / Шарады
Программистам
Вопросы к обсуждению


Данетки


Текущие:

  Мой любимый грех (с)
  Математика в архитектуре
  Не сыпь мне соль на рану
  «Геометрическая»
  Высказывание Ломоносова
  Наверное, не про яблоки
  Комерция
  Везде градусы
  Вагончик тронется, вагончик тронется..
  Спасибо медикам и католикам))
  Специальная купюра
  Студенческая смекалка
  Эллипс vs Круг
  Современные технологии. Немецкий стандарт.
  Спортивная
  философская
  Про газету
  печатная монета
  Купюра евро
  Древние изобретения
  Биометрические паспорта
  Новый глава
  В далеком созвездии тау Кита... 8)))
  Огородное
  Средневековое строительство
  Жестокое наказание
  Их нравы - 4
  Европейский стандарт

Разгаданные недавно:

  этот модный тандыр
  Из Что-Где-Когда
  Может ли такое быть?
  Что изображено?
  Да на тебе пахать надо!


Справочная



Признаки делимости
Площади фигур


Реклама






задача: Неравенство

Задачу прислал: Админ


Сложность: сложныеДоказать справедливость неравенства (1 + x/y)(1 + y/z)(1 + z/x) >= 8 для всех положительных x, y и z.

+ 4 -


Ответ





Решение задачи





Ваши ответы на задачу


ответов: 5

Олимпиадник 2018-07-11 15:57:09 пишет:
Докажем, что 8xyz <= (x+y)(x+z)(z+y), из чего будет следовать (1 + x/y)(1 + y/z)(1 + z/x) >= 8. Применяя неравенсвто о чреднем арифметичском и геометрическом для двух чисел имеем, что (X+Y)/2 >= √(XY). Аналошично для пар (X,Z) и (Z,Y) Тогда (X+Y)(Y+Z)(Z+X)/2^3 >= √(XY)*√(YZ)*√(ZX) т.е
(X+Y)(Y+Z)(Z+X) >= 8XYZ

KoKos 2012-07-05 10:53:29 пишет:
Вариант Татьяны примечателен еще и тем, что позволяет существенно расширить область значений x,y,z . Поскольку он работает для любой тройки *одновременно* положительных, либо *одновременно* отрицательных чисел. ;) Я, честно говоря, удивлен, - что Вы так долго не обращали на него внимания. :)
   Админ: Увы, пропускаю иногда ответы

T.Rex 2012-07-05 00:50:33 пишет:
(x+y)(y+z)(x+z)>=8xyz.
Перемножим и сгрупперуем:
x(y^2+z^2)+y(x^2+z^2)+z(x^2+y^2)>=6xyz,
x(y-z)^2+y(x-z)^2+z(x-y)^2>=0
Неравенство верное.
   Админ:

Карпова Татьяна Алексеевна 2012-06-21 19:00:46 пишет:
Как известно из классического неравенства
среднее арифметическое положительных чисел больше или равно их среднему геометрическому, (1+х/у)>=2квадратных корня из(1*х/у),(1+y/z)>=2 квадратных корня из(1*y/z), (1+z/х)>=2квадратных корня из(1*z/х). Перемножая корни получим 8*1=8, т. е. исходное неравенство верно.
   Админ: интересный подход, не ожидал

Slycelote 2012-06-21 12:46:39 пишет:
(1 + x/y)(1 + y/z)(1 + z/x) = 2 + 2*(x/y + y/z + z/x) >= (по нер-ву Коши) >= 2 + 2 * 3 * (x/y * y/z * z/x) ^ (1/3) = 8
   Админ: не уловил, как вы первое преобразование сделали.

Добавьте комментарий:
Автор:

Комментарий:

Пожалуйста, введите символы с картинки:
(подтверждение не требуется для зарегистрированных пользователей)



 





Обсуждаем

  Задача Разрезанный треугольник:
http://lprobs.ru/img/yes.gif : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : Это было в 1913 году. Одиннадцатилетняя девочка, пансионерка Московской Ржевской гимназии очень прос...
Задача Гора.:
Xuzke : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : В школе все казалось правильным. Из математики следует физика, из физики следует химия, из химии сле...
R-2 : Ты решил: Ну, и наконец, то решение, которое тут видимо предполагается в идеале, я не буду говори...
Так, по старой памяти заглянул :) : R-2, условие неплохо бы конкретизировать. ;)) А то так вариантов может быть масса, хотя все обладают...
Задача 4 хода:
колд : [скрыто]
Задача Кот и мышка:
Дмитрий : [скрыто]
Задача Черная Жемчужина:
mskfirst : [скрыто]
Задача Квадратный торт:
не представился : [скрыто]
Задача Задача с ведрами: 9 и 4 = 6.:
ИносОйЧанбин : [скрыто]
Дкгк7 : [скрыто]
Задача Геометрическая 3:
не представился : [скрыто]
Алексей : [скрыто]
Гостевая книга:
R-2 : Дано: листочек бумаги и ручка. На листочке написаны три нуля. О О О Задача: «как из трёх нулей...



Реклама



© 2009-201x Логические задачи