"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов. Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное. Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.

Задачи на логику и сообразительность




О сайте
Гостевая книга
ЧаВо

Пользователи
RSS

Поиск на сайте





запомнить меня
Зарегистрироваться


Задачи



Данетки


Текущие:

  «Геометрическая»
  Высказывание Ломоносова
  Наверное, не про яблоки
  Комерция
  Везде градусы
  Вагончик тронется, вагончик тронется..
  Спасибо медикам и католикам))
  Специальная купюра
  Студенческая смекалка
  Эллипс vs Круг
  Современные технологии. Немецкий стандарт.
  Спортивная
  философская
  Про газету
  печатная монета
  Купюра евро
  Древние изобретения
  Биометрические паспорта
  Новый глава
  В далеком созвездии тау Кита... 8)))
  Огородное
  Средневековое строительство
  Жестокое наказание
  Их нравы - 4
  Европейский стандарт

Разгаданные недавно:

  этот модный тандыр
  Из Что-Где-Когда
  Может ли такое быть?
  Что изображено?
  Да на тебе пахать надо!


Справочная



Признаки делимости
Площади фигур


Реклама






задача: Неравенство

Задачу прислал: Админ


Сложность: сложныеДоказать справедливость неравенства (1 + x/y)(1 + y/z)(1 + z/x) >= 8 для всех положительных x, y и z.



Ответ





Решение задачи





Ваши ответы на задачу


ответов: 5

Олимпиадник 2018-07-11 15:57:09 пишет:
Докажем, что 8xyz <= (x+y)(x+z)(z+y), из чего будет следовать (1 + x/y)(1 + y/z)(1 + z/x) >= 8. Применяя неравенсвто о чреднем арифметичском и геометрическом для двух чисел имеем, что (X+Y)/2 >= √(XY). Аналошично для пар (X,Z) и (Z,Y) Тогда (X+Y)(Y+Z)(Z+X)/2^3 >= √(XY)*√(YZ)*√(ZX) т.е
(X+Y)(Y+Z)(Z+X) >= 8XYZ

KoKos 2012-07-05 10:53:29 пишет:
Вариант Татьяны примечателен еще и тем, что позволяет существенно расширить область значений x,y,z . Поскольку он работает для любой тройки *одновременно* положительных, либо *одновременно* отрицательных чисел. ;) Я, честно говоря, удивлен, - что Вы так долго не обращали на него внимания. :)
   Админ: Увы, пропускаю иногда ответы

T.Rex 2012-07-05 00:50:33 пишет:
(x+y)(y+z)(x+z)>=8xyz.
Перемножим и сгрупперуем:
x(y^2+z^2)+y(x^2+z^2)+z(x^2+y^2)>=6xyz,
x(y-z)^2+y(x-z)^2+z(x-y)^2>=0
Неравенство верное.
   Админ:

Карпова Татьяна Алексеевна 2012-06-21 19:00:46 пишет:
Как известно из классического неравенства
среднее арифметическое положительных чисел больше или равно их среднему геометрическому, (1+х/у)>=2квадратных корня из(1*х/у),(1+y/z)>=2 квадратных корня из(1*y/z), (1+z/х)>=2квадратных корня из(1*z/х). Перемножая корни получим 8*1=8, т. е. исходное неравенство верно.
   Админ: интересный подход, не ожидал

Slycelote 2012-06-21 12:46:39 пишет:
(1 + x/y)(1 + y/z)(1 + z/x) = 2 + 2*(x/y + y/z + z/x) >= (по нер-ву Коши) >= 2 + 2 * 3 * (x/y * y/z * z/x) ^ (1/3) = 8
   Админ: не уловил, как вы первое преобразование сделали.

Добавьте комментарий:
Автор:

Комментарий:

Пожалуйста, введите символы с картинки:
(подтверждение не требуется для зарегистрированных пользователей)



 





Обсуждаем

  Гостевая книга:
Surusdut : Typically, most endocrine glands set up to age during the first place trimester of gestation, but th...
Задача Черномор и богатырская зарплата:
не представился : [скрыто]
Задача Музыкальная система:
julia : [скрыто]
ivana2000: Пояснения будут? ... Видимо, не будет.
Задача Рассечение квадрата:
KoKos : [скрыто]
я : [скрыто]
Задача Неравенство:
Олимпиадник : [скрыто]
Гостевая книга:
Turchenkovawlada19986 : A favorable excerption of cancel trunk antiquity supplements and vitamins, formulated to helper amou...
Задача Кот ученый и мышка в тумане:
KoKos : [скрыто]
ivana2000 : [скрыто]
Данетка Спасибо медикам и католикам)):
не представился : [задал вопрос] -[нет]
Задача Кот ученый и мышка в тумане:
KoKos : [скрыто]
KoKos : [скрыто]
ivana2000 : [скрыто]
не представился : [скрыто]
ivana2000 : Некоторые пояснения. 1. Забываем о реальном мире, задача чисто геометрическая, кот и мышка – точк...
Админ: повысил сложность



Реклама



© 2009-201x Логические задачи