Логические задачи : Клякса на сотовой сетке

	"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов. Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное. Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.
Задачи на логику и сообразительность
Главная \| О проекте \| Все задачи-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C \| Добавить задачу

О сайте
Гостевая книга
ЧаВо

Пользователи
RSS

Поиск на сайте

запомнить меня

Задачи

Переливания и взвешивания

Теорвер, комбинаторика

Задания на наблюдательность

требуется помощь

Чисто поржать

Детские с подковыркой

Данетки

Текущие:

  Мой любимый грех (с)
  Математика в архитектуре
  Не сыпь мне соль на рану
  «Геометрическая»
  Высказывание Ломоносова
  Наверное, не про яблоки
  Комерция
  Везде градусы
  Вагончик тронется, вагончик тронется..
  Спасибо медикам и католикам))
  Специальная купюра
  Студенческая смекалка
  Эллипс vs Круг
  Современные технологии. Немецкий стандарт.
  Спортивная
  философская
  Про газету
  печатная монета
  Купюра евро
  Древние изобретения
  Биометрические паспорта
  Новый глава
  В далеком созвездии тау Кита... 8)))
  Огородное
  Средневековое строительство
  Жестокое наказание
  Их нравы - 4
  Европейский стандарт

Разгаданные недавно:

  этот модный тандыр
  Из Что-Где-Когда
  Может ли такое быть?
  Что изображено?
  Да на тебе пахать надо!

Справочная

Признаки делимости
Площади фигур

Реклама

Версия для смартфонов

задача: Клякса на сотовой сетке

Задачу прислал: Вадим Любимов

На бесконечной сотовой сетке находится клякса. Площадь кляксы меньше площади одной соты. Всегда ли можно переместить кляксу так, чтобы она не покрывала ни один узел сетки? Если да - докажите, нет - приведите контр-пример.


+ 0 -

Ответ

Не всегда.

Решение задачи

Ваши ответы на задачу

ответов: 18

KoKos 2012-04-12 23:02:36 пишет:

Сорри, не по теме, - просто навеяло собственными перипетиями... :))) Старый анекдот. На консультации перед экзаменом подходит к профессору студент: "Вот в такой-то теореме, при доказательстве Вы аксиоматично использовали такое-то утверждение с оговоркой, что это очевидно. Но я вот тут уже третий день бъюсь лбом об стену и все же никак не могу понять, - почему это утверждение верно?" Профессор на это: "Да не вопрос" и начинает быстро рисовать на доске различные формулы и графики... Дойдя до половины доски, он останавливается, задумчиво чешет репу, стирает все и начинает писать заново. Исписав в итоге всю доску, профессор смущенно заявляет студенту, что не будет "подковыривать" того на экзамене за эту "очевидность". Приходит домой, запирается в кабинете, и пару часов строчит что-то на бумажках. После чего хлопает себя по лбу и с облегчением восклицает: "Тьфу! Так это же очевидно!" 8)))

KoKos 2012-04-12 11:03:48 пишет:

Отбой тревоги. :) Еще пара часов переваривания задачи - и по-настоящему элементарное решение наконец нашлось. 8))) Итак, что представляет собой правильная сотовая сетка? Угу, плоскость, заполненную равносторонними треугольниками, из которых каждый имеет одну сторону, являющуюся ребром сетки. Проведенный в любой точке плоскости круг радиуса ребра всегда содержит внутри себя как минимум один такой треугольник целиком, а значит, всегда содержит как минимум одно ребро сетки целиком. Но площадь круга больше площади соты - сможем ли мы вырезать из него подходящий кусок? Тут потребуется немного посчитать. Площадь шести "лишних" круговых сегментов равна pi*R^2-3*sqrt(3)/2*R^2. Делим на пи и ищем квадратный корень - получаем 0.41594*R . Вот и ура. ;) Если внутри большого круга радиуса R вырезать меньший круг радиуса r=0.42*R, то площадь нашей кляксы уже станет меньше площади соты. Диаметр меньшего круга 2*r = 0.84*R < R, то бишь меньше длинны ребра, целиком содержащегося в "начальной" неурезанной кляксе. Совершенно очевидно, что при любом взаиморасположении ребра и дырки, ребро целиком в дырку не уместится - а значит, хотя бы один узел сетки останется накрытым кляксой. Для желающих поиграться в дельты есть еще слоновий запас в 0.16*R :) Ленивые могут просто объявить кляксу замкнутым множеством точек и вырезать из нее дырку радиусом до R/2 включительно. Размещение дырки - произвольное. :)

Админ: Придраться не к чему - красиво и доходчиво.

KoKos 2012-04-12 00:22:07 пишет:

:) Пфф... доработал. 8) В целом, Вася Пупкин прав по двум пунктам. Во-первых, "элементарное" решение в данном случае все же есть (и даже не одно, в зависимости от подхода), но, чтобы к нему прийти, мне пришлось потратить примерно с десяток часов, и вспомнить много чего, чем не пользовался уже годами (причем таки не из школьной программы, пожалуй :))). Во-вторых, я пришел в итоге к похожему алгоритму. :) Стену текста сейчас кастовать не буду, - не то состояние. :( Либо запощу "кирпичиками", за пару дней, начиная с лемм, 8) либо уже цельной стеной где-то на выходных.

Вася Пупкин 2012-04-11 20:45:37 пишет:

Но задача про сферу все равно интереснее, и -- увы, по-прежнему мне кажется, что элементарного решения нет. А эта -- поиск примера, поприкидывай-найди, ни уму, ни сердцу...

Вася Пупкин 2012-04-11 20:42:13 пишет:

Ага, вот, кажется, есть -- но очень лень щщитать, попробую на словах убедить. Так вот -- возьмем кляксу в виде круга, описанного вокруг нашего шестиугольника(сторону примем за единицу) -- ну, с радиусом, скажем, не единичка, а единичка плюс дельта. В дальнейших рассуждениях я эту дельту буду скипать -- попозже поясню. Площадь нашего шестиугольника -- полтора корня из трех. Площадь кляксы -- пи(с точностью до дельты). Клякса получилась великовата, надо из нее вырезать эту разницу. Вырежем соотв. дырку в центре. Теперь, если в центр этой дырки пристроить вершину нашей сетки, три связанные с ней вершины попадут в кляксу. Мы можем спасти одну из них, сдвигая нашу вершину из центра, но все три не спасутся. Доказывать лень, но неверующий может зайти с другой стороны -- прижать пару из этой тройки к кляксиной границе, увидеть сдвинутую из центра центральную вершину, и убедиться, что оставшаяся из тройки вершина безнадежно попадает внутрь кляксы. Про дельту, пожалуй, все равно все ясно, ну ее. Короче, толстое кольцо, покрывающее шестиугольник, почти его площади, с не слишком большой(ну, того размера, который потребуется для компенсации разницы площадей круга и шестиугольника) дыркой в центре.

Вася Пупкин 2012-04-11 09:34:06 пишет:

Ох, черт, это я собирался в оригинал запостить, про квадратные клетки -- где придумали обе дочерние задачи. Админ, перенесите, пожалуйста, если согласны, что там уместней.

Админ: пусть здесь будет, здесь к месту

Вася Пупкин 2012-04-11 09:32:08 пишет:

Ни задача про сферу, ни про соты, похоже, несмотря на простую формулировку, элементарно не решаются. Это всегда большой соблазн -- возьмем, да и сделаем по аналогии, раз задача-родитель на раз сделалась, так и с нашей тоже пойдет. Увы, это совсем не всегда так. Хрестоматийный пример -- две задачи. Первая: правильный шестиугольник разбит на параллелограммы одинаковой площади; доказать, что их число кратно трем. По здешней классификации я бы определил ее в мущинские, но она отн. легко, хотя и не в одну строчку, решается. И вторая -- казалось бы, брат-близнец, только еще проще: квадрат разбит на треугольники равной площади; доказать, что их четное число. Мне неизвестны люди, решившие вторую задачу, и решения я нигде не смог найти, хотя ставил на уши многих и многих. Так что я бы на месте Админа этим самым двум новорожденным, во всяком случае, повысил бы трудность до мущинской(на самом деле -- и выше бы, да выше нет), а вообще-то -- смирился бы с мыслью о нерешаемости, во всяком случае, эл. средствами.

Админ: сложность поднял

KoKos 2012-04-10 21:30:42 пишет:

:) не представился, все наоборот - если НЕ поворачивать, то нет, невозможно - что я уже доказал чуть ниже.

не представился 2012-04-10 16:42:05 пишет:

смотря как переносить.
если не ПОВОРАЧИВАТЬ кляксу относит. соты, то тогда ДА, возможно.

KoKos 2012-04-10 09:41:48 пишет:

Не успел. :( Админ, прошу прощения и посыпаю голову пеплом. :( Забыл о центральном повороте сетки - в таком случае нам не хватит одной залитой соты, - надо рассматривать полный круг радиуса ребра. И чистую дырочку прийдется оставлять побольше, чтоб скомпенсировать шесть дополнительных сегментов. Так что надо садиться и все аккуратно пересчитыывать. :(

Админ: дорабатывайте :)

KoKos 2012-04-09 21:32:31 пишет:

И конечно, же, вместо "равносторонний", следует читать "равнобедренный" треугольник, сорри. 8))

KoKos 2012-04-09 21:24:16 пишет:

Я подозреваю, что аналогичным способом можно доказать невозможность и для неправильной сотовой сетки, но там уже построения будут на порядок сложнее - а нас интересует всего лишь один контрпример. :)

KoKos 2012-04-09 21:21:42 пишет:

В общем случае - нельзя. Это следует из того, что в отличие от любых четырехугольных сеток, с сотовой сеткой из правильных шестиугольников всегда можно добться того, что при любой комбинации параллельных переносов и поворотов, одной и той же соте всегда будет принадлежать не менее двух узлов сетки. Берем диаметр соты, и строим на нем как на основании равносторонний треугольник с углом в противолежащей вершине А 120 градусов (это угол между любыми двумя смежнвми ребрами правильной сотовой сетки). Очевидно, что как бы мы ни крутили сотовую сетку, всегда одно из трех ребер, исходящих из вершины А будет целиком принадлежать нашей соте. Но одной точки нам не хватит для контрпримера - нам нужен запас площади. И есть у нас. :) Проводим окружность с центром в точке А, и радиусом в длину ребра соты. Очевидно, что длины боковых сторон треугольника больше радиуса (ибо его основание = двум радиусам). Выбираем любую из точек пересечения окружности с боковой стороной и находим расстояние от нее до ближайшего ребра сетки. С центром в точке А и радиусом только что найденного расстояния, проводим вторую, маленькую окружность. Еще бы конечно, стоило доказать, что найденный таким образом радиус маленькой окружности не больше расстояния от точки А до ближайшего ребра, но мы поленимся, и просто выберем наименьшее из этих двух чисел, а потом еще и поделим его на 2 - для надежности. :))) Заливаем всю соту чернилами, кроме нашей меньшей окружности, включая контуры (замкнуто). Залитая площадь меньше площади соты, но переместить сетку невозможно. ;)

Админ:

Михаил 2012-04-09 09:21:37 пишет:

А вы пробовали для начала перенести кляксу? Это же не возможно. Хотя если (каким ли бо способом) это возможно, то просто переносём кляксу в другую соту.

Админ: Каким-то образом возможно. Это же не лабораторная работа по кляксопереносу, а математическая задача :)

Александра Т 2012-04-08 20:13:39 пишет:

ну её можно поместить внутри соты, а можно на узел

Jeka T 2012-04-08 16:13:01 пишет:

Чо за узлы? Узлы это грани шестиугольника?

Админ: видимо, все-таки вершины.

Вадим Любимов 2012-04-08 15:19:41 пишет:

Jeka, кстати, сота не квадрат, а шестиугольник.

Админ: о, как!

Jeka T 2012-04-08 10:00:26 пишет:

Не всегда, пример:сота размером 1х1, а клякса 0,1х 9.

Админ: Пример не подходит, поскольку клякса размещенная вдоль линии сетки не пройдет через узлы.

Добавьте комментарий:

Обсуждаем

Задача Разрезанный треугольник:
http://lprobs.ru/img/yes.gif : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : Это было в 1913 году. Одиннадцатилетняя девочка, пансионерка Московской Ржевской гимназии очень прос...
Задача Гора.:
Xuzke : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : В школе все казалось правильным. Из математики следует физика, из физики следует химия, из химии сле...
R-2 : Ты решил: Ну, и наконец, то решение, которое тут видимо предполагается в идеале, я не буду говори...
Так, по старой памяти заглянул :) : R-2, условие неплохо бы конкретизировать. ;)) А то так вариантов может быть масса, хотя все обладают...
Задача 4 хода:
колд : [скрыто]
Задача Кот и мышка:
Дмитрий : [скрыто]
Задача Черная Жемчужина:
mskfirst : [скрыто]
Задача Квадратный торт:
не представился : [скрыто]
Задача Задача с ведрами: 9 и 4 = 6.:
ИносОйЧанбин : [скрыто]
Дкгк7 : [скрыто]
Задача Геометрическая 3:
не представился : [скрыто]
Алексей : [скрыто]
Гостевая книга:
R-2 : Дано: листочек бумаги и ручка. На листочке написаны три нуля. О О О Задача: «как из трёх нулей...

Реклама

© 2009-201x Логические задачи

Задачи на логику и сообразительность

Поиск на сайте

Задачи

Данетки

Справочная

Реклама

задача: Клякса на сотовой сетке

Ответ

Решение задачи

Ваши ответы на задачу

Обсуждаем

Реклама