Логические задачи : Клякса в тетрадке

	"Логические задачи" - это познавательно-развлекательный проект для непрокисших мозгов. Задачи на логику, нестандартное мышление. Не всегда самое очевидное решение - правильное. Но иногда всё оказывается проще, чем кажется на первый взгляд.
Задачи на логику и сообразительность
Главная \| О проекте \| Все задачи-1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C \| Добавить задачу

О сайте
Гостевая книга
ЧаВо

Пользователи
RSS

Поиск на сайте

запомнить меня

Задачи

Переливания и взвешивания

Теорвер, комбинаторика

Задания на наблюдательность

требуется помощь

Чисто поржать

Детские с подковыркой

Данетки

Текущие:

  Мой любимый грех (с)
  Математика в архитектуре
  Не сыпь мне соль на рану
  «Геометрическая»
  Высказывание Ломоносова
  Наверное, не про яблоки
  Комерция
  Везде градусы
  Вагончик тронется, вагончик тронется..
  Спасибо медикам и католикам))
  Специальная купюра
  Студенческая смекалка
  Эллипс vs Круг
  Современные технологии. Немецкий стандарт.
  Спортивная
  философская
  Про газету
  печатная монета
  Купюра евро
  Древние изобретения
  Биометрические паспорта
  Новый глава
  В далеком созвездии тау Кита... 8)))
  Огородное
  Средневековое строительство
  Жестокое наказание
  Их нравы - 4
  Европейский стандарт

Разгаданные недавно:

  этот модный тандыр
  Из Что-Где-Когда
  Может ли такое быть?
  Что изображено?
  Да на тебе пахать надо!

Справочная

Признаки делимости
Площади фигур

Реклама

Версия для смартфонов

задача: Клякса в тетрадке

На плоскость, на которую нанесена прямоугольная сетка с шагом n, выливаются чернила в виде множества клякс разного размера и формы. Общая площадь чернильных пятен меньше n². Доказать, что можно сместить сетку таким образом, что ни один узел решетки не окажется залит чернилами.


+ 0 -

Ответ

Решение задачи

Ваши ответы на задачу

ответов: 6

Вадим Любимов 2012-04-07 11:36:56 пишет:

Интересно, какие у этой задачи есть обобщения и версии? Первое что приходит в голову - это обобщить множество избегаемых точек и изменить поверхность. Помимо плоскости я вижу только две поверхности, по которым клякса может свободно передвигаться без изменения формы (конгруэнтно): бесконечный цилиндр (т.е. который бесконечно продолжается вверх и вниз, но имеет конечный радиус) и сфера. Итак, я предлагаю следующие версии задачи:

1 (Ромбовая сетка). Квадратную сетку можно обобщить на прямоугольную (скажем, с горизонтальным шагом x и вертикальным - y). Далее, вертикальные линии сетки можно наклонить под одним и тем же углом, чтобы сетка стала правильной ромбовой, т.е. у которой все клетки одинаковые ромбы. При этом условие задачи "площадь всей кляксы меньше площади одной клетки" (*) остаётся неизменным.

2 (Сотовая сетка). Вопрос: можно ли использовать сотовую сетку на плоскости с тем же условием (*)? Интуиция мне подсказывает, что нельзя, т.к. в сетке относительно много узлов, но я не могу сразу придумать контр-пример. А как вы думаете? Интересно также найти более жёсткое ограничение на площадь кляксы, чем (*), при котором задача с сотовой сеткой будет иметь положительное решение.

3 (Цилиндр). Плоскость можно заменить на поверхность бесконечного цилиндра и нанести на неё правильную ромбовую сетку. Опять же остаётся условие (*).

Задачи 1 и 3 решаются в точности как и оригинальная (с ножницами и иголкой :)).

4 (Сфера). Если плоскость заменить на сферу, то сразу возникают две проблемы: а) чем тогда заменить узлы правильной ромбовой сетки? и б) чем ограничить площадь кляксы? Предлагаю взять произвольное конечное множество избегаемых точек и при этом заменить условие (*) на "площадь всей кляксы меньше отношения площади сферы к количеству точек" (**). (По-существу, это тоже самое условие (*), только переформулированное для ограниченного куска поверхности и без использования "клетки".) Получается ещё одна красивая задача для очень свежих мозгов!

5 (Многомерное обобщение). Задачи 1, 3 и 4 прямо обобщаются с двумерного на n-мерный случай. Например, трёхмерную версию оригинальной задачи можно сформулировать так: "Дана бесконечная кубическая сетка и произвольное тело. Объём тела меньше объёма одного куба. Доказать, что тело (или сетку) можно переместить так, что все узлы сетки будут находиться вне тела." Решения задач 1 и 3 так же легко и радостно обобщаются на n-мерный случай, только вместо ножниц может понадобиться топор :). Уверен, что решение задачи 4, каково бы оно ни было, также должно легко обобщаться на n-мерной случай.

Думаю есть смысл поставить отдельно задачи 2 и 4 на этом сайте.

Админ:

Юрий Филиппенко 2012-03-24 13:50:40 пишет:

Это моя вина, не совсем правильно понял задачу :)

KoKos 2012-03-24 13:00:40 пишет:

Переформулирую собственное решение более простыми словами для наглядности. Режем плоскость по сетке на отдельные квадратики. Складываем все квадратики с чернилами стопочкой (неукоснительно соблюдаем параллельность переноса!). Смотрим сквозь них на просвет. Если мы не увидим хотя бы малюсенькой *области* не покрытой чернилами, то общая площадь клякс не меньше n^2 - противоречит условию. Видимая область принадлежит всем квадратикам с чернилами и не запятнана - значит параллельным сдвигом любого узла сетки в эту область мы гарантируем чистоту всех узлов. Никакие ухищрения с бесконечным множеством точечных клякс не помогут. ;)

Админ:

KoKos 2012-03-24 12:50:57 пишет:

Юрий, я что-то не понял, каким образом *отрезок* может помешать смещению сетки? Если он расположен по диагонали квадрата - то сетку следует всего лишь сместить вдоль любой стороны, чтоб получить искомое решение. ;) Если вдоль стороны - то сетку смещаем вдоль другой стороны. :Р

Юрий Филиппенко 2012-03-24 12:24:26 пишет:

Можно доказать обратное. Можно рассмотреть такой вариант, что ни поворотами, ни сдвигами решетки не получится не запятнать ее. Возьмем первоначально установленную решетку. В одном квадрате размещаем пятно, стремящееся к точке около одного угла. Расстояние от центра кляксы до угла стремится к 0. Остальной материал размещаем в противоположном углу, причем со следующими условиями: кляксы соприкасаются друг с другом, ширина клякс также стремится к 0. Т.о. выстраивается отрезок, который начинается от угла и простирается до бесконечности в противиположную сторону. В итоге перемещения решетки ситуацию не спасут. Всегда можно разместить в квадрате кляксы полощадью значительно меньше, чем n^2.

KoKos 2012-03-24 02:49:57 пишет:

Для начала убедимся, что в начале операций хотя бы один узел сетки залит чернилами - в противном случае нулевое смещение сразу решает все наши проблемы. ;))) Далее, достаточно рассмотреть параллельные сдвиги сетки без поворотов - как будет видно из дальнейшего, если такой вариант не удастся, то общая площадь клякс больше или равна n^2, что противоречит условию задачи. Произвольно выбираем некоторый заляпанный чернилами узел сетки за "начало координат", а два ребра, имеющих начало координат своим общим концом, произвольно выбранного "активного" квадрата, для которого начало координат является одной из вершин - за направляющие "х" и "у". Проверяем все возможные параллельные сдвиги системы координат в пределах 0<=x<n и 0<=y<n - если хоть один любой узел сетки после сдвига залит чернилами, то переносим чернильную точку в сдвинутое начало координат (x,y), само начало координат возвращаем на исходную позицию, и все начинаем сначала, уже с другими x,y (а зачем пробовать снова неудачный вариант?) ... ( Лирическое отступление: естественно, все эти "пробы" чисто умозрительны, ни у кого не хватит жизни на то, чтобы перепробовать все пары действительных чисел, как бы мало ни было n ) ... Наконец предположим, что мы перепробовали *все* варианты, но у нас так ничего и не получилось? В таком случае, мы имеем "активный" квадрат *целиком* заполненный чернильными точками, надерганными из клякс. И даже с учетом того, что он открыт по двум сторонам (помните условие "строго меньше эн"?) его площадь все равно равна n^2 (ибо площаль двух оставшихся для полного замыкания ребер нулевая), а значит и общая площадь всех клякс из которых выдергивались точки, не меньше n^2. Reductio ad absurdum. ;)

Админ:

Добавьте комментарий:

Обсуждаем

Задача Разрезанный треугольник:
http://lprobs.ru/img/yes.gif : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : Это было в 1913 году. Одиннадцатилетняя девочка, пансионерка Московской Ржевской гимназии очень прос...
Задача Гора.:
Xuzke : [скрыто]
Гостевая книга:
не представился : В школе все казалось правильным. Из математики следует физика, из физики следует химия, из химии сле...
R-2 : Ты решил: Ну, и наконец, то решение, которое тут видимо предполагается в идеале, я не буду говори...
Так, по старой памяти заглянул :) : R-2, условие неплохо бы конкретизировать. ;)) А то так вариантов может быть масса, хотя все обладают...
Задача 4 хода:
колд : [скрыто]
Задача Кот и мышка:
Дмитрий : [скрыто]
Задача Черная Жемчужина:
mskfirst : [скрыто]
Задача Квадратный торт:
не представился : [скрыто]
Задача Задача с ведрами: 9 и 4 = 6.:
ИносОйЧанбин : [скрыто]
Дкгк7 : [скрыто]
Задача Геометрическая 3:
не представился : [скрыто]
Алексей : [скрыто]
Гостевая книга:
R-2 : Дано: листочек бумаги и ручка. На листочке написаны три нуля. О О О Задача: «как из трёх нулей...

Реклама

© 2009-201x Логические задачи

Задачи на логику и сообразительность

Поиск на сайте

Задачи

Данетки

Справочная

Реклама

задача: Клякса в тетрадке

Ответ

Решение задачи

Ваши ответы на задачу

Обсуждаем

Реклама